勒讓德條件英文解釋翻譯、勒讓德條件的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Legendre condition

分詞翻譯：

勒的英語翻譯：

rein in; tie sth. tight
【醫】 lux; meter candle

讓的英語翻譯：

allow; give away; give up; let; make; yield

德的英語翻譯：

heart; mind; morals; virtue

條件的英語翻譯：

capitulation; condition; factor; if; prerequisite; qualification; requirement
term
【計】 condition; criteria
【醫】 condition
【經】 condition; proviso; terms

專業解析

勒讓德條件（Legendre Condition）的漢英詞典解析

勒讓德條件是變分法中的核心概念，用于判斷泛函極值存在的二階必要條件，由法國數學家阿德裡安-馬裡·勒讓德（Adrien-Marie Legendre）于1786年首次提出。以下從定義、數學表達及實際應用三方面解析：

1.定義與數學形式

勒讓德條件要求，若泛函

J[y] = int{a}^{b} F(x, y, y') , dx

$$

在函數$y(x)$處取得極值，則被積函數$F$的二階偏導數需滿足非負性條件：

$$

F{y'y'} geq 0

其中$F{y'y'}$表示對$y'$的二階偏導數。若嚴格不等式成立（$F{y'y'} > 0$），則稱為強勒讓德條件。

2.物理與工程應用

該條件常用于經典力學的最速降線問題、光學中的費馬原理等場景，用于驗證解的穩定性。例如，在分析懸鍊線形狀時，勒讓德條件可判定其是否為能量最小狀态。

3.與其他條件的關系

勒讓德條件與歐拉-拉格朗日方程（一階必要條件）及雅可比條件（充分性判據）共同構成變分法的完備極值理論。若勒讓德條件失效，需進一步結合魏爾斯特拉斯條件（Weierstrass condition）分析。

權威參考來源

《變分法基礎》（Gelfand & Fomin, 1963），第3章極值問題。
數學百科全書（Encyclopedia of Mathematics），條目“Legendre condition”。
應用數學學報（Springer），變分法在工程力學中的綜述。

網絡擴展解釋

勒讓德條件是變分法中判斷泛函極值的重要必要條件，由數學家勒讓德（A.-M. Legendre）于1786年提出。以下是其核心要點：

1.定義與作用

勒讓德條件用于檢驗泛函在弱極值（即函數及其導數微小變化的極值）下的必要性。若泛函 ( J[y] = int_{a}^{b} F(x, y, y') , dx ) 在某個函數 ( y(x) ) 處取得極小值或極大值，則需滿足該條件。它是對二階變分的約束，确保極值存在的可能性。

2.數學表達式

對于被積函數 ( F )，勒讓德條件要求其二階導數滿足： $$ F{y'y'} geq 0 quad (text{極小值情形}) quad text{或} quad F{y'y'} leq 0 quad (text{極大值情形}) $$ 若嚴格滿足不等式（即 ( F{y'y'} > 0 ) 或 ( F{y'y'} < 0 ) ），則稱為強勒讓德條件。

3.分類

弱勒讓德條件：二階導數非負（或非正），是泛函取得極值的必要條件。
強勒讓德條件：二階導數嚴格正（或嚴格負），通常用于更嚴格的極值判定場景。

4.應用背景

在變分法中，直接驗證維爾斯特拉斯條件（另一種極值條件）較複雜，而勒讓德條件通過分析被積函數的局部凸性/凹性，提供了一種更易操作的替代方案。例如，在經典力學中優化軌迹問題時，常用該條件判斷能量泛函的極值。

5.補充說明

需注意，勒讓德條件僅是必要條件而非充分條件，還需結合其他條件（如雅可比條件）共同判斷極值存在性。此外，“勒讓德”這一名稱在數論中也有同名符號（用于判斷二次剩餘），但兩者屬于不同數學分支的概念。