勒让德条件英文解释翻译、勒让德条件的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Legendre condition

分词翻译：

勒的英语翻译：

rein in; tie sth. tight
【医】 lux; meter candle

让的英语翻译：

allow; give away; give up; let; make; yield

德的英语翻译：

heart; mind; morals; virtue

条件的英语翻译：

capitulation; condition; factor; if; prerequisite; qualification; requirement
term
【计】 condition; criteria
【医】 condition
【经】 condition; proviso; terms

专业解析

勒让德条件（Legendre Condition）的汉英词典解析

勒让德条件是变分法中的核心概念，用于判断泛函极值存在的二阶必要条件，由法国数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）于1786年首次提出。以下从定义、数学表达及实际应用三方面解析：

1.定义与数学形式

勒让德条件要求，若泛函

J[y] = int{a}^{b} F(x, y, y') , dx

$$

在函数$y(x)$处取得极值，则被积函数$F$的二阶偏导数需满足非负性条件：

$$

F{y'y'} geq 0

其中$F{y'y'}$表示对$y'$的二阶偏导数。若严格不等式成立（$F{y'y'} > 0$），则称为强勒让德条件。

2.物理与工程应用

该条件常用于经典力学的最速降线问题、光学中的费马原理等场景，用于验证解的稳定性。例如，在分析悬链线形状时，勒让德条件可判定其是否为能量最小状态。

3.与其他条件的关系

勒让德条件与欧拉-拉格朗日方程（一阶必要条件）及雅可比条件（充分性判据）共同构成变分法的完备极值理论。若勒让德条件失效，需进一步结合魏尔斯特拉斯条件（Weierstrass condition）分析。

权威参考来源

《变分法基础》（Gelfand & Fomin, 1963），第3章极值问题。
数学百科全书（Encyclopedia of Mathematics），条目“Legendre condition”。
应用数学学报（Springer），变分法在工程力学中的综述。

网络扩展解释

勒让德条件是变分法中判断泛函极值的重要必要条件，由数学家勒让德（A.-M. Legendre）于1786年提出。以下是其核心要点：

1.定义与作用

勒让德条件用于检验泛函在弱极值（即函数及其导数微小变化的极值）下的必要性。若泛函 ( J[y] = int_{a}^{b} F(x, y, y') , dx ) 在某个函数 ( y(x) ) 处取得极小值或极大值，则需满足该条件。它是对二阶变分的约束，确保极值存在的可能性。

2.数学表达式

对于被积函数 ( F )，勒让德条件要求其二阶导数满足： $$ F{y'y'} geq 0 quad (text{极小值情形}) quad text{或} quad F{y'y'} leq 0 quad (text{极大值情形}) $$ 若严格满足不等式（即 ( F{y'y'} > 0 ) 或 ( F{y'y'} < 0 ) ），则称为强勒让德条件。

3.分类

弱勒让德条件：二阶导数非负（或非正），是泛函取得极值的必要条件。
强勒让德条件：二阶导数严格正（或严格负），通常用于更严格的极值判定场景。

4.应用背景

在变分法中，直接验证维尔斯特拉斯条件（另一种极值条件）较复杂，而勒让德条件通过分析被积函数的局部凸性/凹性，提供了一种更易操作的替代方案。例如，在经典力学中优化轨迹问题时，常用该条件判断能量泛函的极值。

5.补充说明

需注意，勒让德条件仅是必要条件而非充分条件，还需结合其他条件（如雅可比条件）共同判断极值存在性。此外，“勒让德”这一名称在数论中也有同名符号（用于判断二次剩余），但两者属于不同数学分支的概念。