勒讓德變換（Legendre transformation）是數學和物理學中用于轉換函數表示形式的核心工具，尤其在分析力學、熱力學和優化理論中應用廣泛。它通過改變自變量（如将變量替換為其共轭變量）來重構函數關系，從而揭示系統的不同物理内涵。
基本形式：
對于凸函數 ( f(x) )，其勒讓德變換定義為：
$$ g(p) = sup_{x} { p cdot x - f(x) } $$
其中 ( p = frac{df}{dx} ) 是原函數的共轭變量（如力學中的廣義動量）。變換後的函數 ( g(p) ) 稱為 ( f(x) ) 的勒讓德變換。
可逆性：
若 ( f(x) ) 嚴格凸，則變換可逆。原函數可通過二次變換還原：
$$ f(x) = sup_{p} { x cdot p - g(p) } $$
這一性質在熱力學勢（如焓與内能）轉換中至關重要。
變換後的函數 ( g(p) ) 對應原函數 ( f(x) ) 的所有切線族的包絡線。新自變量 ( p ) 是原函數切線的斜率，而 ( g(p) ) 表示該切線的截距。
在哈密頓力學中，位置 ( q ) 經變換後其共轭動量 ( p = partial L / partial dot{q} ) 成為新自變量，拉格朗日量 ( L(q, dot{q}) ) 變換為哈密頓量 ( H(q, p) )，即：
$$ H(q, p) = p cdot dot{q} - L(q, dot{q}) $$
這一轉換簡化了運動方程。
在凸優化中，勒讓德變換将目标函數轉化為其對偶形式，幫助求解約束極值問題。
| 中文術語 | 英文術語 |
|---|---|
| 勒讓德變換 | Legendre transformation |
| 共轭變量 | Conjugate variable |
| 哈密頓量 | Hamiltonian |
| 熱力學勢 | Thermodynamic potential |
勒讓德變換（Legendre Transformation）是數學和物理學中的一種重要工具，用于将一個函數的變量轉換為與之對偶的變量，同時保持系統信息的完整性。以下是其核心要點：
基本公式
給定一個凸函數 ( f(x) )，其勒讓德變換 ( g(p) ) 定義為：
$$
g(p) = sup_x { px - f(x) }
$$
其中 ( p = f'(x) ) 是原函數的導數，即通過最大化 ( px - f(x) ) 來建立新變量 ( p ) 與原變量 ( x ) 的映射關系。
對偶性
變換後的函數 ( g(p) ) 與原函數 ( f(x) ) 互為對偶。若對 ( g(p) ) 再次進行勒讓德變換，可恢複原函數 ( f(x) )，即 ( f(x) = sup_p { xp - g(p) } )。
切線與截距
勒讓德變換可理解為在凸函數圖像上，用切線斜率 ( p ) 對應的截距來描述原函數。例如，函數在某點的切線方程為 ( y = px - g(p) )，其中 ( g(p) ) 為該切線的截距。
變量轉換的物理意義
通過變換，将原函數從以位置 ( x ) 為變量轉換為以動量 ( p ) 為變量（如經典力學中的應用），而系統本質信息（如能量）保持不變。
拉格朗日力學 → 哈密頓力學
熱力學函數轉換
如内能 ( U(S, V) ) 轉換為焓 ( H(S, p) )，通過變換變量（如體積 ( V ) → 壓強 ( p )）簡化不同條件下的分析。
依賴凸性
原函數必須是凸函數，才能保證變換後的函數存在且唯一。非凸函數需引入共轭函數（Convex Conjugate）擴展應用。
信息等價性
變換僅改變變量的描述方式，不丢失物理信息，例如能量在不同變量下的等價表達。
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