勒让德变换英文解释翻译、勒让德变换的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 legendre transformation
【化】 Legendre transformation

分词翻译：

勒的英语翻译：

rein in; tie sth. tight
【医】 lux; meter candle

让的英语翻译：

allow; give away; give up; let; make; yield

德的英语翻译：

heart; mind; morals; virtue

变换的英语翻译：

alternate; switch; transform; commutation
【计】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

专业解析

勒让德变换（Legendre transformation）是数学和物理学中用于转换函数表示形式的核心工具，尤其在分析力学、热力学和优化理论中应用广泛。它通过改变自变量（如将变量替换为其共轭变量）来重构函数关系，从而揭示系统的不同物理内涵。

一、数学定义与核心思想

基本形式：
对于凸函数 ( f(x) )，其勒让德变换定义为：

$$ g(p) = sup_{x} { p cdot x - f(x) } $$

其中 ( p = frac{df}{dx} ) 是原函数的共轭变量（如力学中的广义动量）。变换后的函数 ( g(p) ) 称为 ( f(x) ) 的勒让德变换。
可逆性：
若 ( f(x) ) 严格凸，则变换可逆。原函数可通过二次变换还原：

$$ f(x) = sup_{p} { x cdot p - g(p) } $$

这一性质在热力学势（如焓与内能）转换中至关重要。

二、几何意义与物理内涵

切线包络解释：
变换后的函数 ( g(p) ) 对应原函数 ( f(x) ) 的所有切线族的包络线。新自变量 ( p ) 是原函数切线的斜率，而 ( g(p) ) 表示该切线的截距。

物理中的共轭变量：
在哈密顿力学中，位置 ( q ) 经变换后其共轭动量 ( p = partial L / partial dot{q} ) 成为新自变量，拉格朗日量 ( L(q, dot{q}) ) 变换为哈密顿量 ( H(q, p) )，即：

$$ H(q, p) = p cdot dot{q} - L(q, dot{q}) $$

这一转换简化了运动方程。

三、典型应用领域

热力学势函数：
- 内能 ( U(S, V) ) 变换为焓 ( H(S, p) = U + pV )（替换体积 ( V ) 为压强 ( p ))。
- 进一步变换可得吉布斯自由能 ( G(T, p) )，用于描述等温等压过程。
优化问题：
在凸优化中，勒让德变换将目标函数转化为其对偶形式，帮助求解约束极值问题。

四、中英文术语对照

中文术语	英文术语
勒让德变换	Legendre transformation
共轭变量	Conjugate variable
哈密顿量	Hamiltonian
热力学势	Thermodynamic potential

参考文献

Encyclopedia of Mathematics: "Legendre Transform" (数学百科全书：勒让德变换条目)
MIT OpenCourseWare: "Thermodynamics & Kinetics" Lecture Notes (MIT热力学课程讲义)
Arnold, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics (经典力学的数学方法)
Goldstein, H. Classical Mechanics (经典力学教材)

网络扩展解释

勒让德变换（Legendre Transformation）是数学和物理学中的一种重要工具，用于将一个函数的变量转换为与之对偶的变量，同时保持系统信息的完整性。以下是其核心要点：

一、数学定义与核心思想

基本公式
给定一个凸函数 ( f(x) )，其勒让德变换 ( g(p) ) 定义为：
$$ g(p) = sup_x { px - f(x) } $$
其中 ( p = f'(x) ) 是原函数的导数，即通过最大化 ( px - f(x) ) 来建立新变量 ( p ) 与原变量 ( x ) 的映射关系。
对偶性
变换后的函数 ( g(p) ) 与原函数 ( f(x) ) 互为对偶。若对 ( g(p) ) 再次进行勒让德变换，可恢复原函数 ( f(x) )，即 ( f(x) = sup_p { xp - g(p) } )。

二、几何解释

切线与截距
勒让德变换可理解为在凸函数图像上，用切线斜率 ( p ) 对应的截距来描述原函数。例如，函数在某点的切线方程为 ( y = px - g(p) )，其中 ( g(p) ) 为该切线的截距。
变量转换的物理意义
通过变换，将原函数从以位置 ( x ) 为变量转换为以动量 ( p ) 为变量（如经典力学中的应用），而系统本质信息（如能量）保持不变。

三、物理应用案例

拉格朗日力学 → 哈密顿力学
- 拉格朗日量 ( L(q, dot{q}) ) 以广义坐标 ( q ) 和速度 ( dot{q} ) 为变量，通过勒让德变换得到哈密顿量 ( H(q, p) )，其中 ( p = frac{partial L}{partial dot{q}} ) 为广义动量。
- 哈密顿方程（( dot{q} = frac{partial H}{partial p} )，( dot{p} = -frac{partial H}{partial q} )）与拉格朗日方程等价，但更适合分析守恒量。
热力学函数转换
如内能 ( U(S, V) ) 转换为焓 ( H(S, p) )，通过变换变量（如体积 ( V ) → 压强 ( p )）简化不同条件下的分析。

四、关键特性与局限性

依赖凸性
原函数必须是凸函数，才能保证变换后的函数存在且唯一。非凸函数需引入共轭函数（Convex Conjugate）扩展应用。
信息等价性
变换仅改变变量的描述方式，不丢失物理信息，例如能量在不同变量下的等价表达。

五、扩展阅读建议

数学证明细节：参考、2的严格推导。
统计力学中的应用：如自由能与配分函数的关系。
非凸函数的共轭函数处理：见的优化理论扩展。

勒让德变换英文解释翻译、勒让德变换的近义词、反义词、例句

英语翻译：

分词翻译：

勒的英语翻译：

让的英语翻译：

德的英语翻译：

变换的英语翻译：

专业解析

一、数学定义与核心思想

二、几何意义与物理内涵

三、典型应用领域

四、中英文术语对照

参考文献

网络扩展解释

一、数学定义与核心思想

二、几何解释

三、物理应用案例

四、关键特性与局限性

五、扩展阅读建议

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