【计】 lagrange inversion formula
拉格朗日反演公式（Lagrange Inversion Formula）是复分析中用于求解解析函数逆展开的重要工具。其核心思想是：若解析函数$f(z)$在$z=a$处满足$f(a)=b$且$f'(a) eq 0$，则其逆函数$g(w)$在$w=b$附近可展开为幂级数，具体系数由导数形式的高阶项决定。
设$f(z)$在邻域$D$内解析，且满足$f(a)=b$、$f'(a) eq 0$，则逆函数$g(w)$的展开式为： $$ g(w) = a + sum{n=1}^{infty} frac{(w-b)^n}{n!} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} left( frac{z-a}{f(z)-b} right)^n right]{z=a} $$ 该公式通过高阶导数计算逆函数的显式展开系数，适用于形式幂级数反演。
| 中文术语 | 英文术语 |
|---|---|
| 拉格朗日反演公式 | Lagrange Inversion Theorem |
| 解析函数 | analytic function |
| 幂级数展开 | power series expansion |
| 高阶导数 | higher-order derivatives |
拉格朗日反演公式（Lagrange Inversion Theorem）是复分析和组合数学中的重要工具，用于从隐函数或幂级数的形式中显式地求解逆函数的展开系数。以下是其核心内容和应用：
若函数 ( f(z) ) 在 ( z=0 ) 处解析，且满足 ( f(0) eq 0 ) 和 ( f'(0) eq 0 )，则存在唯一的逆函数 ( z = g(w) ) 使得 ( w = z/f(z) )。拉格朗日反演公式提供了通过 ( f(z) ) 的展开系数计算逆函数 ( g(w) ) 的显式方法。
设 ( w = z/f(z) )，则逆函数 ( z = g(w) ) 的幂级数展开为： $$ z = sum{n=1}^infty frac{w^n}{n} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} left( f(z)^n right) right]{z=0} $$ 进一步地，若 ( h(z) ) 是另一个解析函数，则： $$ h(g(w)) = h(0) + sum{n=1}^infty frac{w^n}{n} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} left( h'(z) cdot f(z)^n right) right]{z=0} $$
组合计数
用于计算树形结构（如二叉树、卡塔兰数）的生成函数系数。例如，卡塔兰数 ( C_n = frac{1}{n+1}binom{2n}{n} ) 可通过拉格朗日反演从生成函数 ( w = z(1 + w) ) 中导出。
复分析
求解解析函数的逆函数展开式，例如在黎曼面理论中构造局部坐标变换。
微分方程
对某些隐式定义的微分方程解进行级数展开。
设生成函数 ( w = z(1 + w) )，要求解 ( w ) 的级数展开系数 ( C_n )（即卡塔兰数）。
应用拉格朗日反演公式：
$$
Cn = frac{1}{n} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} (1 + z)^{2n} right]{z=0} = frac{1}{n} binom{2n}{n-1} = frac{1}{n+1}binom{2n}{n}
$$
当 ( w = z/f(z) ) 推广到多元情况时，公式可扩展为拉格朗日-古德（Good）公式，用于多变量级数反演。此外，在非交换代数中也有类似形式。
拉格朗日反演公式通过将隐式关系转化为显式级数，成为连接分析与组合数学的桥梁，其简洁性和普适性使其在多个领域广泛应用。
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