拉格朗日對偶問題英文解釋翻譯、拉格朗日對偶問題的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 lagrange duality problem

分詞翻譯：

拉格朗日的英語翻譯：

【計】 lagrange
【化】 Lagrangian

對偶的英語翻譯：

【計】 antithetic
【醫】 allelo-

問題的英語翻譯：

issue; problem; question; trouble
【計】 sieve problem
【經】 subject

專業解析

拉格朗日對偶問題（Lagrangian Dual Problem）是數學優化理論中的核心概念，用于處理帶約束條件的極值問題。其本質是通過引入拉格朗日乘子（Lagrange Multipliers），将原始優化問題（Primal Problem）轉化為一個更容易求解的對偶形式。以下是基于漢英對照視角的解析：

1.原始問題與對偶問題的定義

原始問題（Primal Problem）通常表示為： $$ begin{aligned} min_{mathbf{x}} quad & f(mathbf{x}) text{s.t.} quad & g_i(mathbf{x}) leq 0, quad i=1,dots,m & hj(mathbf{x}) = 0, quad j=1,dots,p end{aligned} $$ 通過構造拉格朗日函數（Lagrangian Function）： $$ L(mathbf{x}, boldsymbol{lambda}, boldsymbol{ u}) = f(mathbf{x}) + sum{i=1}^m lambda_i gi(mathbf{x}) + sum{j=1}^p u_j hj(mathbf{x}) $$ 對偶問題（Dual Problem）則定義為原始問題的下确界最大化： $$ max{boldsymbol{lambda}, boldsymbol{ u}} quad inf_{mathbf{x}} L(mathbf{x}, boldsymbol{lambda}, boldsymbol{ u}) $$

2.對偶性的核心定理

弱對偶定理（Weak Duality）：對偶問題的目标函數值始終小于或等于原始問題的最優值。
強對偶定理（Strong Duality）：在凸優化且滿足Slater條件時，原始與對偶問題的最優值相等。

3.應用領域與優勢

拉格朗日對偶方法在以下領域具有重要應用：

機器學習：支持向量機（SVM）的核函數優化；
經濟學：資源分配問題的對偶價格分析；
工程控制：帶約束的魯棒性設計。

4.中英術語對照

中文術語	英文術語
拉格朗日乘子	Lagrange Multipliers
原始問題	Primal Problem
對偶間隙	Duality Gap
互補松弛條件	Complementary Slackness

參考文獻

Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization. Springer.

網絡擴展解釋

拉格朗日對偶問題是優化理論中的重要概念，用于将帶有約束的原始優化問題轉化為一個更易求解或分析的對偶形式。以下是分步解釋：

1.原始優化問題

假設原始問題為最小化目标函數 ( f(x) )，滿足約束：

不等式約束 ( g_i(x) leq 0 )（( i=1,2,...,m )）
等式約束 ( h_j(x) = 0 )（( j=1,2,...,n )）
其數學形式為： $$ begin{aligned} min_x quad & f(x) text{s.t.} quad & g_i(x) leq 0, quad i=1,...,m & h_j(x) = 0, quad j=1,...,n end{aligned} $$

2.拉格朗日函數（Lagrangian）

為處理約束，引入拉格朗日乘子：

( lambda_i geq 0 )（對應不等式約束）
( uj )（對應等式約束）
構造拉格朗日函數： $$ mathcal{L}(x, lambda, u) = f(x) + sum{i=1}^m lambda_i gi(x) + sum{j=1}^n u_j h_j(x) $$

3.原始問題與對偶問題的轉換

原始問題：先對 ( lambda, u ) 求最大，再對 ( x ) 求最小： $$ p^* = minx max{lambda geq 0, u} mathcal{L}(x, lambda, u) $$ 此時約束被隱式滿足。
對偶問題：交換極值順序，先對 ( x ) 求最小，再對 ( lambda, u ) 求最大： $$ d^* = max_{lambda geq 0, u} min_x mathcal{L}(x, lambda, u) $$ 對偶問題總為凸優化問題，即使原問題非凸。

4.對偶性的關鍵性質

弱對偶性：對偶問題的最優值 ( d^ ) 是原始問題最優值 ( p^ ) 的下界，即 ( d^ leq p^ )。
強對偶性：若滿足特定條件（如Slater條件：存在嚴格滿足所有不等式約束的點），則 ( d^ = p^ )，此時可通過解對偶問題獲得原問題解。

5.應用與意義

簡化求解：對偶問題常為凸問題，且變量維度可能更低。
理論分析：通過分析對偶間隙（( p^ - d^ )）評估原問題的解的質量。
機器學習應用：如支持向量機（SVM）中，對偶形式允許使用核技巧處理非線性問題。

示例說明

原始問題：最小化 ( f(x) = x )，滿足 ( x geq 1 )。
拉格朗日函數：( mathcal{L}(x, lambda) = x + lambda(1 - x) )。
對偶問題：

對 ( x ) 求極小：( frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x - lambda = 0 Rightarrow x = lambda/2 )。
代入得 ( d^ = max_{lambda geq 0} left( (lambda/2) + lambda(1 - lambda/2) right) )，解得 ( lambda = 2 )，( d^ = 1 )。
此時強對偶成立，原問題最優值 ( p^* = 1 )，兩者相等。

通過這種方式，拉格朗日對偶将複雜約束問題轉化為更易處理的形式。