叉積聯繫英文解釋翻譯、叉積聯繫的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 cross product association

分詞翻譯：

叉的英語翻譯：

tine
【醫】 fork; furca

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

聯繫的英語翻譯：

connection; contact; integrate; interosculate; relate; relation; vinculum
【醫】 connection; correlate; correlation
【經】 link

專業解析

叉積（Cross Product），又稱向量積或外積，是線性代數中描述兩個三維向量間特定運算關系的核心概念。以下從漢英詞典角度解釋其詳細含義及相關性質：

一、術語定義與數學表達

中文定義
叉積（chā jī）指兩個三維空間中的向量生成一個新向量的運算，結果向量垂直于原向量構成的平面，方向由右手定則确定，模長等于原向量構成的平行四邊形面積。
英文定義
Cross Product: A binary operation on two vectors in 3D space, producing a third vector orthogonal to the plane containing the initial vectors. Its magnitude equals the area of the parallelogram spanned by the two vectors.
數學公式
設向量 (mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)), (mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z))，叉積計算為： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)mathbf{i} - (a_x b_z - a_z b_x)mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x)mathbf{k} $$

二、關鍵性質與幾何意義

正交性（Orthogonality）
結果向量 (mathbf{a} times mathbf{b}) 同時垂直于 (mathbf{a}) 和 (mathbf{b})，滿足 (mathbf{a} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) = 0) 且 (mathbf{b} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) = 0)。
模長與幾何意義
(|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta)，其中 (theta) 為兩向量夾角，模長對應以 (mathbf{a}, mathbf{b}) 為鄰邊的平行四邊形面積。
右手定則（Right-Hand Rule）
結果方向由右手定則确定：食指指向 (mathbf{a})，中指指向 (mathbf{b})，拇指指向 (mathbf{a} times mathbf{b})。

三、應用場景

物理學：計算力矩（(boldsymbol{tau} = mathbf{r} times mathbf{F})）與洛倫茲力（(mathbf{F} = q(mathbf{v} times mathbf{B}))）。
計算機圖形學：生成曲面法向量，用于光照與碰撞檢測。
工程學：分析旋轉系統與電磁場相互作用。

四、與點積的聯繫

叉積（(mathbf{a} times mathbf{b})）與點積（(mathbf{a} cdot mathbf{b})）均為向量乘法，但本質不同：

點積：結果為标量，衡量向量平行程度（(mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}||mathbf{b}|costheta)）。
叉積：結果為向量，衡量向量垂直程度及平面取向。

二者通過拉格朗日恒等式關聯：

(|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}| - (mathbf{a} cdot mathbf{b}))。

參考資料

同濟大學《線性代數》（第七版），高等教育出版社。
Strang, G. Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press.
Wolfram MathWorld: Cross Product（幾何意義與運算規則）。

網絡擴展解釋

叉積（又稱向量積或叉乘）是向量代數中的一種重要運算，主要用于三維空間中的兩個向量，其運算結果是一個新的向量，具有獨特的幾何和物理意義。

一、叉積的定義

給定兩個三維向量(mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3))和(mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3))，它們的叉積表示為： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,a_3b_1 - a_1b_3,a_1b_2 - a_2b_1) $$ 結果向量的方向由右手定則确定，模長等于兩向量構成的平行四邊形面積：(|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta)（(theta)為兩向量夾角）。

二、核心聯繫與意義

幾何聯繫
叉積結果垂直于原始兩向量，可用于判斷向量間的空間關系（如平面法向量）。其模長對應兩向量張成的平行四邊形面積，常用于計算三維幾何體的體積。
物理應用聯繫
在物理學中，叉積描述旋轉相關量：
- 力矩：(boldsymbol{tau} = mathbf{r} times mathbf{F})
- 角動量：(mathbf{L} = mathbf{r} times mathbf{p})
- 磁場力：洛倫茲力公式(mathbf{F} = q(mathbf{v} times mathbf{B}))。
與點積的對比
叉積與點積（标量積）互補：點積反映向量投影關系，結果為标量；叉積反映垂直方向關系，結果為向量。

三、運算性質

反交換律：(mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} times (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} times mathbf{b} + mathbf{a} times mathbf{c})
與行列式的關系：叉積可通過三階行列式計算，基向量(mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k})參與展開。

四、局限性

叉積僅適用于三維空間，在更高維空間中需推廣為外積（Exterior Product）。其方向依賴性也導緻在左手坐标系與右手坐标系中符號不同。