叉积联系英文解释翻译、叉积联系的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 cross product association

分词翻译：

叉的英语翻译：

tine
【医】 fork; furca

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

联系的英语翻译：

connection; contact; integrate; interosculate; relate; relation; vinculum
【医】 connection; correlate; correlation
【经】 link

专业解析

叉积（Cross Product），又称向量积或外积，是线性代数中描述两个三维向量间特定运算关系的核心概念。以下从汉英词典角度解释其详细含义及相关性质：

一、术语定义与数学表达

中文定义
叉积（chā jī）指两个三维空间中的向量生成一个新向量的运算，结果向量垂直于原向量构成的平面，方向由右手定则确定，模长等于原向量构成的平行四边形面积。
英文定义
Cross Product: A binary operation on two vectors in 3D space, producing a third vector orthogonal to the plane containing the initial vectors. Its magnitude equals the area of the parallelogram spanned by the two vectors.
数学公式
设向量 (mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)), (mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z))，叉积计算为： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)mathbf{i} - (a_x b_z - a_z b_x)mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x)mathbf{k} $$

二、关键性质与几何意义

正交性（Orthogonality）
结果向量 (mathbf{a} times mathbf{b}) 同时垂直于 (mathbf{a}) 和 (mathbf{b})，满足 (mathbf{a} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) = 0) 且 (mathbf{b} cdot (mathbf{a} times mathbf{b}) = 0)。
模长与几何意义
(|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta)，其中 (theta) 为两向量夹角，模长对应以 (mathbf{a}, mathbf{b}) 为邻边的平行四边形面积。
右手定则（Right-Hand Rule）
结果方向由右手定则确定：食指指向 (mathbf{a})，中指指向 (mathbf{b})，拇指指向 (mathbf{a} times mathbf{b})。

三、应用场景

物理学：计算力矩（(boldsymbol{tau} = mathbf{r} times mathbf{F})）与洛伦兹力（(mathbf{F} = q(mathbf{v} times mathbf{B}))）。
计算机图形学：生成曲面法向量，用于光照与碰撞检测。
工程学：分析旋转系统与电磁场相互作用。

四、与点积的联系

叉积（(mathbf{a} times mathbf{b})）与点积（(mathbf{a} cdot mathbf{b})）均为向量乘法，但本质不同：

点积：结果为标量，衡量向量平行程度（(mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}||mathbf{b}|costheta)）。
叉积：结果为向量，衡量向量垂直程度及平面取向。

二者通过拉格朗日恒等式关联：

(|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}| - (mathbf{a} cdot mathbf{b}))。

参考资料

同济大学《线性代数》（第七版），高等教育出版社。
Strang, G. Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press.
Wolfram MathWorld: Cross Product（几何意义与运算规则）。

网络扩展解释

叉积（又称向量积或叉乘）是向量代数中的一种重要运算，主要用于三维空间中的两个向量，其运算结果是一个新的向量，具有独特的几何和物理意义。

一、叉积的定义

给定两个三维向量(mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3))和(mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3))，它们的叉积表示为： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,a_3b_1 - a_1b_3,a_1b_2 - a_2b_1) $$ 结果向量的方向由右手定则确定，模长等于两向量构成的平行四边形面积：(|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta)（(theta)为两向量夹角）。

二、核心联系与意义

几何联系
叉积结果垂直于原始两向量，可用于判断向量间的空间关系（如平面法向量）。其模长对应两向量张成的平行四边形面积，常用于计算三维几何体的体积。
物理应用联系
在物理学中，叉积描述旋转相关量：
- 力矩：(boldsymbol{tau} = mathbf{r} times mathbf{F})
- 角动量：(mathbf{L} = mathbf{r} times mathbf{p})
- 磁场力：洛伦兹力公式(mathbf{F} = q(mathbf{v} times mathbf{B}))。
与点积的对比
叉积与点积（标量积）互补：点积反映向量投影关系，结果为标量；叉积反映垂直方向关系，结果为向量。

三、运算性质

反交换律：(mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a})
分配律：(mathbf{a} times (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} times mathbf{b} + mathbf{a} times mathbf{c})
与行列式的关系：叉积可通过三阶行列式计算，基向量(mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k})参与展开。

四、局限性

叉积仅适用于三维空间，在更高维空间中需推广为外积（Exterior Product）。其方向依赖性也导致在左手坐标系与右手坐标系中符号不同。