叉乘英文解釋翻譯、叉乘的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 multiplication cross

分詞翻譯：

乘的英語翻譯：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【計】 multiply

專業解析

叉乘（Cross Product）是向量運算中的一種二元操作，在三維空間中對兩個非零向量進行運算，生成一個垂直于原始兩向量的新向量。其英文術語為"cross product"，也稱為"vector product"。

數學定義：對于三維向量$mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$和$mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，叉乘結果$mathbf{a} times mathbf{b}$的表達式為： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $$ 其模長滿足$|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta$（$theta$為兩向量夾角），方向由右手定則确定。

幾何意義：叉乘結果的模長等于以$mathbf{a}$和$mathbf{b}$為鄰邊的平行四邊形面積，因此常用于計算平面法向量、旋轉力矩等物理量。

應用領域：

物理學：描述力矩（$mathbf{tau} = mathbf{r} times mathbf{F}$）和磁場力（洛倫茲力公式$mathbf{F} = qmathbf{v} times mathbf{B}$）。
計算機圖形學：生成表面法線以計算光照效果。
工程力學：分析剛體旋轉時的角動量方向。

漢英術語對照：

叉乘：Cross product
右手定則：Right-hand rule
向量積：Vector product
标量三重積：Scalar triple product（$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$）

參考來源：劍橋大學數學手冊、MIT線性代數公開課程教材。

網絡擴展解釋

叉乘（又稱向量積、外積）是向量代數中的一種運算，主要用于三維空間中的兩個向量，運算結果是一個垂直于原向量的新向量。以下是詳細解釋：

一、基本定義

叉乘的數學符號為$mathbf{a} times mathbf{b}$，其定義包含兩個關鍵要素：

大小：等于原向量構成的平行四邊形面積，公式為： $$ |mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta $$ 其中$theta$是兩向量的夾角。
方向：由右手定則确定，即右手四指從$mathbf{a}$彎曲到$mathbf{b}$時，拇指指向叉乘結果的方向。

二、計算公式

若$mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$，$mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$，則叉乘結果為： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)mathbf{i} - (a_x b_z - a_z b_x)mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x)mathbf{k} $$

三、核心性質

反交換律：$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
與平行向量的關系：若兩向量平行，則$mathbf{a} times mathbf{b} = mathbf{0}$。
分配律：$mathbf{a} times (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} times mathbf{b} + mathbf{a} times mathbf{c}$。

四、幾何與物理意義

幾何意義：叉乘結果向量的模長對應兩向量張成的平行四邊形面積。
應用場景：物理學中計算力矩（$boldsymbol{tau} = mathbf{r} times mathbf{F}$）、角動量（$mathbf{L} = mathbf{r} times mathbf{p}$）等。

五、注意事項

叉乘僅適用于三維空間，二維向量需補充$z=0$分量後計算。
方向判定需嚴格遵循右手定則，避免與左手坐标系混淆。

例如，向量$mathbf{a} = (1, 0, 0)$和$mathbf{b} = (0, 1, 0)$叉乘結果為$(0, 0, 1)$，即垂直于$x$-$y$平面的單位向量$mathbf{k}$。