雙曲線函數英文解釋翻譯、雙曲線函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 hyperbolic error function

分詞翻譯：

雙曲線的英語翻譯：

hyperbola
【醫】 recurved line

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

雙曲線函數（Hyperbolic Functions）是一類與雙曲線密切相關的數學函數，其定義與三角函數相似但基于自然指數函數構建。該函數族包含雙曲正弦（sinh）、雙曲餘弦（cosh）、雙曲正切（tanh）等基礎函數，在工程學、物理學和微分方程領域有廣泛應用。

核心定義與表達式

雙曲正弦函數（sinh）
定義為：

$$sinh(x) = frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

該函數圖像呈現中心對稱的"S"型曲線，導數為雙曲餘弦函數。
雙曲餘弦函數（cosh）
表達式為：

$$cosh(x) = frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

其圖像為懸鍊線形狀，導數為雙曲正弦函數，在物理學中用于描述懸索橋的曲線形态（來源：《數學分析基礎教程》）。
雙曲正切函數（tanh）
由雙曲正弦與雙曲餘弦的比值構成：

$$tanh(x) = frac{sinh(x)}{cosh(x)} = frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

該函數在神經網絡激活函數設計中具有重要作用（來源：IEEE計算數學期刊）。

應用領域

電磁場理論：雙曲線函數用于描述電磁波傳播方程中的衰減特性
相對論時空幾何：闵可夫斯基時空度規使用雙曲函數表達坐标變換
熱傳導方程：在非穩态熱傳導問題中作為分離變量法的解函數出現（來源：《工程數學手冊》）。

與圓函數的對比

雙曲線函數與三角函數共享類似恒等式，例如：

$$cosh(x) - sinh(x) = 1$$

但參數對應關系不同，三角函數關聯單位圓，而雙曲線函數關聯等軸雙曲線（來源：美國數學學會術語标準）。

網絡擴展解釋

雙曲線函數（又稱雙曲函數）是一類與雙曲線相關的數學函數，與三角函數類似但具有不同的幾何和代數性質。以下是其核心要點：

1. 基本定義

雙曲線函數通過指數函數定義，常見的有：

雙曲正弦（sinh）：
$$sinh x = frac{e^x - e^{-x}}{2}$$
雙曲餘弦（cosh）：
$$cosh x = frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
雙曲正切（tanh）：
$$tanh x = frac{sinh x}{cosh x} = frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

2. 幾何意義

雙曲函數參數化單位雙曲線 (x - y = 1)，類似于三角函數參數化單位圓：

點 ((cosh t, sinh t)) 位于雙曲線右半支上，參數 (t) 是雙曲線角（面積的兩倍）。

3. 核心性質

恒等式：
$$cosh x - sinh x = 1$$
類比三角函數的 (cos x + sin x = 1)。
導數關系：
$$frac{d}{dx}sinh x = cosh x, quad frac{d}{dx}cosh x = sinh x$$
奇偶性：
(sinh x) 是奇函數，(cosh x) 是偶函數。

4. 應用領域

物理學：描述懸鍊線（如懸挂的鍊條）、相對論中的洛倫茲變換。
工程學：熱傳導方程、電磁波傳播。
數學分析：積分計算（如 (int frac{dx}{sqrt{x+1}} = sinh^{-1} x + C)）。

5. 反雙曲函數

反函數用于解決方程，例如：

(sinh^{-1} x = ln(x + sqrt{x + 1}))
(cosh^{-1} x = ln(x + sqrt{x - 1}) quad (x geq 1))

雙曲線函數通過指數定義，與雙曲線幾何緊密相關，并在科學和工程中廣泛用于描述非線性現象。其形式與三角函數相似，但代數符號和幾何背景不同。