叉乘英文解释翻译、叉乘的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 multiplication cross

分词翻译：

乘的英语翻译：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【计】 multiply

专业解析

叉乘（Cross Product）是向量运算中的一种二元操作，在三维空间中对两个非零向量进行运算，生成一个垂直于原始两向量的新向量。其英文术语为"cross product"，也称为"vector product"。

数学定义：对于三维向量$mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$和$mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，叉乘结果$mathbf{a} times mathbf{b}$的表达式为： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $$ 其模长满足$|mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta$（$theta$为两向量夹角），方向由右手定则确定。

几何意义：叉乘结果的模长等于以$mathbf{a}$和$mathbf{b}$为邻边的平行四边形面积，因此常用于计算平面法向量、旋转力矩等物理量。

应用领域：

物理学：描述力矩（$mathbf{tau} = mathbf{r} times mathbf{F}$）和磁场力（洛伦兹力公式$mathbf{F} = qmathbf{v} times mathbf{B}$）。
计算机图形学：生成表面法线以计算光照效果。
工程力学：分析刚体旋转时的角动量方向。

汉英术语对照：

叉乘：Cross product
右手定则：Right-hand rule
向量积：Vector product
标量三重积：Scalar triple product（$mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$）

参考来源：剑桥大学数学手册、MIT线性代数公开课程教材。

网络扩展解释

叉乘（又称向量积、外积）是向量代数中的一种运算，主要用于三维空间中的两个向量，运算结果是一个垂直于原向量的新向量。以下是详细解释：

一、基本定义

叉乘的数学符号为$mathbf{a} times mathbf{b}$，其定义包含两个关键要素：

大小：等于原向量构成的平行四边形面积，公式为： $$ |mathbf{a} times mathbf{b}| = |mathbf{a}||mathbf{b}|sintheta $$ 其中$theta$是两向量的夹角。
方向：由右手定则确定，即右手四指从$mathbf{a}$弯曲到$mathbf{b}$时，拇指指向叉乘结果的方向。

二、计算公式

若$mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$，$mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$，则叉乘结果为： $$ mathbf{a} times mathbf{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} a_x & a_y & a_z b_x & b_y & b_z end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)mathbf{i} - (a_x b_z - a_z b_x)mathbf{j} + (a_x b_y - a_y b_x)mathbf{k} $$

三、核心性质

反交换律：$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
与平行向量的关系：若两向量平行，则$mathbf{a} times mathbf{b} = mathbf{0}$。
分配律：$mathbf{a} times (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} times mathbf{b} + mathbf{a} times mathbf{c}$。

四、几何与物理意义

几何意义：叉乘结果向量的模长对应两向量张成的平行四边形面积。
应用场景：物理学中计算力矩（$boldsymbol{tau} = mathbf{r} times mathbf{F}$）、角动量（$mathbf{L} = mathbf{r} times mathbf{p}$）等。

五、注意事项

叉乘仅适用于三维空间，二维向量需补充$z=0$分量后计算。
方向判定需严格遵循右手定则，避免与左手坐标系混淆。

例如，向量$mathbf{a} = (1, 0, 0)$和$mathbf{b} = (0, 1, 0)$叉乘结果为$(0, 0, 1)$，即垂直于$x$-$y$平面的单位向量$mathbf{k}$。