退化本征值英文解釋翻譯、退化本征值的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 degenerate eigenvalue

分詞翻譯：

退化的英語翻譯：

degenerate; retrogress; degeneration; degradation; deterioration; obsolescence
retrogression
【醫】 catagenesis; catapiasia; cataplasis; Deg.; degeneracy; degenerate
degeneratio; degeneration; degenerescence; degradation; devolution
disvolution; involute; involution; regress; regression; retrogression
revisionary metamorphosis

本征值的英語翻譯：

【計】 eigenvalue; intrinsic value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue

專業解析

在數學和物理學中，"退化本征值"（Degenerate Eigenvalue）指線性變換或矩陣中具有相同特征值的不同特征向量所對應的特征值。具體解釋如下：

一、數學定義

核心概念
若矩陣 ( A ) 的特征方程存在重根，即特征值 ( lambda ) 的代數重數（在特征多項式中出現的次數）大于其幾何重數（對應特征空間的維度），則該特征值稱為退化本征值。例如，若 ( lambda ) 的代數重數為 ( k )，但僅能找到 ( m ) 個線性無關的特征向量（( m < k )），則 ( lambda ) 是退化的。
幾何意義
退化本征值對應的特征子空間維度小于代數重數，表明特征向量無法張成完整的 ( k ) 維空間，需通過廣義特征向量補充（參考Jordan标準形理論）。

二、物理應用（量子力學）

在量子力學中，退化本征值描述能量簡并态：

若哈密頓算符的某個本征值 ( E ) 對應多個線性無關的本征态，則稱 ( E ) 是簡并的（degenerate），簡并度等于獨立态的數量。
例如，氫原子中主量子數 ( n ) 相同的電子态具有相同能量，其簡并度為 ( n )（考慮角動量量子數組合）。

三、漢英術語對照

中文術語	英文術語
退化本征值	Degenerate Eigenvalue
代數重數	Algebraic Multiplicity
幾何重數	Geometric Multiplicity
特征子空間	Eigenspace
簡并度	Degree of Degeneracy

權威參考文獻

數學基礎
Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.

鍊接：https://www.cambridge.org/core/books/matrix-analysis/6C5FF0B37E80B0B098DEA1BD0DA307B7

（第1章詳述特征值退化與Jordan标準形）
物理應用
Griffiths, D. J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.

鍊接：https://www.cambridge.org/core/books/introduction-to-quantum-mechanics/0A0B0E7F898EDE00E3EA3C5CACD3B8A6

（第4章讨論能量簡并與對稱性關聯）
術語規範
《數學名詞審定委員會. (2018). 數學名詞（第三版）. 科學出版社》

（第17頁明确"退化本征值"及中英對照術語）

網絡擴展解釋

“退化本征值”是數學和物理學中的專業術語，其含義需結合“退化”和“本征值”兩部分理解：

1.詞義分解

退化（Degenerate）：在不同領域有不同含義：
- 數學/物理：指多個不同的狀态（如本征向量）對應同一特征參數（如本征值）。例如，兩個不同的量子态可能具有相同的能量值。
- 生物學：器官或功能逐漸減弱或消失（如人類的闌尾）。
本征值（Eigenvalue）：線性代數中的核心概念，表示線性變換對某向量的縮放比例。例如，矩陣作用于某向量時，若方向不變僅長度變化，則該縮放因子即為本征值。

2.組合含義

退化本征值指：一個本征值對應多個線性無關的本征向量。例如：

若矩陣方程 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$ 中，$lambda$ 對應兩個或更多獨立的向量 $mathbf{v}_1, mathbf{v}_2$，則稱 $lambda$ 是退化的。
此時，該本征值的幾何重數（對應向量空間維度）小于代數重數（方程解的重複次數），導緻矩陣無法對角化，需用若爾當标準型表示。

3.應用場景

量子力學：退化本征值對應“簡并态”，即多個量子态具有相同能量（如氫原子電子能級）。
工程計算：退化本征值可能導緻數值算法不穩定，需特殊處理（如攝動理論）。

公式示例

若矩陣 $A$ 的特征方程為： $$ det(A - lambda I) = 0 $$ 當 $lambda = lambda_0$ 是二重根，但僅有一個線性無關的特征向量時，$lambda_0$ 為退化本征值。