退化本征值英文解释翻译、退化本征值的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 degenerate eigenvalue

分词翻译：

退化的英语翻译：

degenerate; retrogress; degeneration; degradation; deterioration; obsolescence
retrogression
【医】 catagenesis; catapiasia; cataplasis; Deg.; degeneracy; degenerate
degeneratio; degeneration; degenerescence; degradation; devolution
disvolution; involute; involution; regress; regression; retrogression
revisionary metamorphosis

本征值的英语翻译：

【计】 eigenvalue; intrinsic value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue

专业解析

在数学和物理学中，"退化本征值"（Degenerate Eigenvalue）指线性变换或矩阵中具有相同特征值的不同特征向量所对应的特征值。具体解释如下：

一、数学定义

核心概念
若矩阵 ( A ) 的特征方程存在重根，即特征值 ( lambda ) 的代数重数（在特征多项式中出现的次数）大于其几何重数（对应特征空间的维度），则该特征值称为退化本征值。例如，若 ( lambda ) 的代数重数为 ( k )，但仅能找到 ( m ) 个线性无关的特征向量（( m < k )），则 ( lambda ) 是退化的。
几何意义
退化本征值对应的特征子空间维度小于代数重数，表明特征向量无法张成完整的 ( k ) 维空间，需通过广义特征向量补充（参考Jordan标准形理论）。

二、物理应用（量子力学）

在量子力学中，退化本征值描述能量简并态：

若哈密顿算符的某个本征值 ( E ) 对应多个线性无关的本征态，则称 ( E ) 是简并的（degenerate），简并度等于独立态的数量。
例如，氢原子中主量子数 ( n ) 相同的电子态具有相同能量，其简并度为 ( n )（考虑角动量量子数组合）。

三、汉英术语对照

中文术语	英文术语
退化本征值	Degenerate Eigenvalue
代数重数	Algebraic Multiplicity
几何重数	Geometric Multiplicity
特征子空间	Eigenspace
简并度	Degree of Degeneracy

权威参考文献

数学基础
Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.

链接：https://www.cambridge.org/core/books/matrix-analysis/6C5FF0B37E80B0B098DEA1BD0DA307B7

（第1章详述特征值退化与Jordan标准形）
物理应用
Griffiths, D. J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.

链接：https://www.cambridge.org/core/books/introduction-to-quantum-mechanics/0A0B0E7F898EDE00E3EA3C5CACD3B8A6

（第4章讨论能量简并与对称性关联）
术语规范
《数学名词审定委员会. (2018). 数学名词（第三版）. 科学出版社》

（第17页明确"退化本征值"及中英对照术语）

网络扩展解释

“退化本征值”是数学和物理学中的专业术语，其含义需结合“退化”和“本征值”两部分理解：

1.词义分解

退化（Degenerate）：在不同领域有不同含义：
- 数学/物理：指多个不同的状态（如本征向量）对应同一特征参数（如本征值）。例如，两个不同的量子态可能具有相同的能量值。
- 生物学：器官或功能逐渐减弱或消失（如人类的阑尾）。
本征值（Eigenvalue）：线性代数中的核心概念，表示线性变换对某向量的缩放比例。例如，矩阵作用于某向量时，若方向不变仅长度变化，则该缩放因子即为本征值。

2.组合含义

退化本征值指：一个本征值对应多个线性无关的本征向量。例如：

若矩阵方程 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$ 中，$lambda$ 对应两个或更多独立的向量 $mathbf{v}_1, mathbf{v}_2$，则称 $lambda$ 是退化的。
此时，该本征值的几何重数（对应向量空间维度）小于代数重数（方程解的重复次数），导致矩阵无法对角化，需用若尔当标准型表示。

3.应用场景

量子力学：退化本征值对应“简并态”，即多个量子态具有相同能量（如氢原子电子能级）。
工程计算：退化本征值可能导致数值算法不稳定，需特殊处理（如摄动理论）。

公式示例

若矩阵 $A$ 的特征方程为： $$ det(A - lambda I) = 0 $$ 当 $lambda = lambda_0$ 是二重根，但仅有一个线性无关的特征向量时，$lambda_0$ 为退化本征值。