不可判定性定理英文解釋翻譯、不可判定性定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 undecidability theorem

分詞翻譯：

不可的英語翻譯：

cannot

判定的英語翻譯：

decide; determine; judge
【計】 deciding; decision; decision ******; determinant
【化】 determination
【經】 judgement

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

不可判定性定理（Undecidability Theorem）是數理邏輯與計算理論的核心概念，指在特定形式系統中存在無法通過算法判定真僞的命題。該定理由庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel）于1931年首次提出，并因艾倫·圖靈（Alan Turing）對停機問題的研究而進一步深化。

數學定義與背景

在形式化數學系統中，不可判定性指不存在通用算法能對所有命題的真假進行判定。例如，哥德爾不完備定理（Gödel's Incompleteness Theorems）證明：任何包含初等算術的一緻公理系統，必然存在既不能被證明也不能被證僞的命題。這類命題稱為“形式不可判定命題”。

核心定理的兩種表述

哥德爾第一不完備定理
若形式系統S滿足一緻性（無矛盾）且包含算術公理，則存在一個命題G，在S中既不能證明G，也不能證明¬G（G的否定）。

數學表達為：

$$

text{若 } S text{ 一緻，則 } exists G in S( vdash_S Gtext{且}

vdash_S eg G)

$$
圖靈停機問題不可判定
圖靈在1936年證明：不存在算法能判定任意程式與輸入的組合是否會終止運行。這一結論奠定了計算複雜性的理論基礎。

應用與影響

不可判定性定理揭示了數學與計算機科學的本質局限，例如：

在編程語言中，靜态分析工具無法檢測所有可能的程式錯誤（如無限循環）；
數論中的希爾伯特第十問題（判定丢番圖方程整數解存在性）被證明為不可判定。

權威參考資料

Gödel, K. (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik.
Turing, A. (1936). On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society.
Stanford Encyclopedia of Philosophy. (2023). Gödel’s Incompleteness Theorems. 鍊接
Davis, M. (1958). Computability and Unsolvability. McGraw-Hill.

網絡擴展解釋

不可判定性定理是數理邏輯和計算理論中的核心概念，指在特定形式系統或計算模型中，存在無法通過算法或邏輯推導确定其真僞的命題或問題。以下是其核心要點：

一、基本定義

不可判定性定理表明，某些數學或計算問題無法通過統一的算法或形式系統得出确定答案。這種不可解性源于系統自身的局限性，而非技術限制。

二、主要類型與案例

計算理論中的不可判定性
- 停機問題：圖靈機無法判定任意程式在給定輸入下是否會終止運行（即停機問題不可解）。例如，語言 ( A_{text{TM}} = {langle M, w rangle mid M text{ 是接受 } w text{ 的圖靈機} } ) 是不可判定的。
- 遞歸可枚舉集的局限性：遞歸可枚舉集的交、并運算可能無法保持遞歸性，導緻某些問題無法通過遞歸算法解決。
數理邏輯中的不可判定性
- 哥德爾不完備定理：在任何包含算術的一緻形式系統中，存在既不能證明也不能證僞的命題（如自指命題“本命題不可證明”）。
- 算術結構的不可定義性：例如，某些算術結構（如 ( mathbb{N}; +, n mapsto 2^n )）無法通過公理系統完全定義乘法運算。

三、影響與意義

數學基礎的重構：哥德爾定理颠覆了希爾伯特“數學系統完備性”的設想，揭示了形式化方法的本質局限。
計算機科學的邊界：停機問題的不可判定性劃定了計算機能力的理論邊界，表明某些問題無法通過編程解決。
哲學啟示：挑戰了“所有真理均可被認知”的傳統觀念，引發對知識界限的反思。

四、典型公式表達

以哥德爾定理為例，其核心思想可簡化為： $$ text{存在命題 } G text{，使得 } G leftrightarrow eg text{Provable}(G) $$ 其中 ( text{Provable}(G) ) 表示 ( G ) 在系統内可被證明，導緻自指矛盾。

如需進一步了解具體定理的證明或應用場景，可參考上述來源中的學術文獻或教材章節。