曲率英文解釋翻譯、曲率的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

curvature
【電】 curvature

分詞翻譯：

曲的英語翻譯：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【醫】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

率的英語翻譯：

frank; hasty; lead; modulus; quotiety; rash; rate; ratio; usually
【醫】 rate
【經】 rater.

專業解析

曲率（Curvature）是微分幾何中描述曲線或曲面局部彎曲程度的量化指标。在漢英詞典中，其對應英文為"curvature"（發音：/ˈkɜːrvətʃər/），定義為“曲線偏離直線的量度”或“曲面偏離平面的程度”。

從數學角度，曲率κ的公式可表示為： $$ κ = left|frac{dφ}{ds}right| $$ 其中，φ為切線與某固定方向的夾角，s為弧長參數。對于三維空間中的曲線，曲率進一步擴展為： $$ κ = frac{|mathbf{r}'(t) times mathbf{r}''(t)|}{|mathbf{r}'(t)|} $$ 該公式通過位置向量函數r(t)的一階和二階導數計算彎曲程度。

在工程和物理學中，曲率概念廣泛應用于：

道路設計中的轉彎半徑計算
光學透鏡的曲面優化
廣義相對論的時空彎曲描述
機械臂運動軌迹規劃

權威參考文獻：

Wolfram MathWorld對曲率公式的完整推導
《牛津數學詞典》（第6版）的幾何術語定義
Springer出版的《數學百科全書》曲面論章節
MIT開放式課程中微分幾何講義的相關章節

網絡擴展解釋

曲率是描述幾何體彎曲程度的度量，在數學和物理學中廣泛應用。以下從不同角度詳細解釋：

平面曲線的曲率對二維平面曲線，曲率表示某一點處切線方向變化的快慢程度。數學定義為： $$ kappa = frac{|y''|}{(1 + y')^{3/2}} $$ 其中$y'$和$y''$分别是函數的一階和二階導數。例如，圓的曲率為$frac{1}{r}$，半徑越小曲率越大。
三維空間曲線的曲率推廣到三維空間，曲率計算公式為： $$ kappa = frac{|vec{r}'(t) times vec{r}''(t)|}{|vec{r}'(t)|} $$ 這裡$vec{r}(t)$是參數方程，曲率反映曲線偏離直線的程度。
曲面上的高斯曲率對三維曲面，高斯曲率通過主曲率乘積定義： $$ K = kappa_1 cdot kappa_2 $$ 其中$kappa_1$和$kappa_2$是正交方向的主曲率。如球面各點高斯曲率為正，馬鞍面為負。
物理意義與應用

判斷彎曲類型：正曲率（向外凸）、負曲率（向内凹）、零曲率（平坦）
工程領域：橋梁/建築結構受力分析
計算機圖形學：曲面建模與網格優化
廣義相對論：描述時空彎曲

曲率半徑曲率半徑$R = 1/kappa$，直觀表示與曲線在該點最密接的圓的半徑。鐵軌彎道設計中需精确計算曲率半徑以保證列車平穩行駛。