曲率（Curvature）是微分几何中描述曲线或曲面局部弯曲程度的量化指标。在汉英词典中，其对应英文为"curvature"（发音：/ˈkɜːrvətʃər/），定义为“曲线偏离直线的量度”或“曲面偏离平面的程度”。
从数学角度，曲率κ的公式可表示为： $$ κ = left|frac{dφ}{ds}right| $$ 其中，φ为切线与某固定方向的夹角，s为弧长参数。对于三维空间中的曲线，曲率进一步扩展为： $$ κ = frac{|mathbf{r}'(t) times mathbf{r}''(t)|}{|mathbf{r}'(t)|} $$ 该公式通过位置向量函数r(t)的一阶和二阶导数计算弯曲程度。
在工程和物理学中，曲率概念广泛应用于：
权威参考文献：
曲率是描述几何体弯曲程度的度量，在数学和物理学中广泛应用。以下从不同角度详细解释：
平面曲线的曲率 对二维平面曲线，曲率表示某一点处切线方向变化的快慢程度。数学定义为： $$ kappa = frac{|y''|}{(1 + y')^{3/2}} $$ 其中$y'$和$y''$分别是函数的一阶和二阶导数。例如，圆的曲率为$frac{1}{r}$，半径越小曲率越大。
三维空间曲线的曲率 推广到三维空间，曲率计算公式为： $$ kappa = frac{|vec{r}'(t) times vec{r}''(t)|}{|vec{r}'(t)|} $$ 这里$vec{r}(t)$是参数方程，曲率反映曲线偏离直线的程度。
曲面上的高斯曲率 对三维曲面，高斯曲率通过主曲率乘积定义： $$ K = kappa_1 cdot kappa_2 $$ 其中$kappa_1$和$kappa_2$是正交方向的主曲率。如球面各点高斯曲率为正，马鞍面为负。
物理意义与应用
【别人正在浏览】