全局最小值英文解釋翻譯、全局最小值的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 absolute minimum; global minimum

分詞翻譯：

全的英語翻譯：

complete; entirely; full; whole
【醫】 pan-; pant-; panto-

局的英語翻譯：

bureau; game; chessboad; limit; office; station
【經】 bureau

最小值的英語翻譯：

【計】 least value; minimum; minimum value

專業解析

在數學優化領域，全局最小值（Global Minimum）是指函數在其整個定義域内所能達到的最低值。與之相對的是局部最小值（Local Minimum），後者僅指函數在某個特定鄰域内的最低點。理解這一概念對優化理論、機器學習、工程設計和經濟學等領域至關重要。

一、漢英術語解析

中文術語：全局最小值 (Quánjú Zuìxiǎo Zhí)
英文術語：Global Minimum
核心定義：若函數 ( f(x) ) 在定義域 ( D ) 内存在一點 ( x^ )，使得對所有 ( x in D ) 都有 ( f(x^) leq f(x) )，則 ( f(x^) ) 稱為函數的全局最小值，( x^ ) 稱為全局最小點。
數學表達：

$$

f(x^*) = min_{x in D} f(x)

$$

二、核心特性與意義

全局性：
全局最小值是函數在整個定義域上的最低點，而非局部區域的最優解。例如，在尋找山脈最低點時，全局最小值對應的是整片山脈的海拔最低點，而非某個山谷的谷底（可能是局部最小值）。
唯一性與非唯一性：
全局最小值可能唯一（如抛物線 ( f(x) = x ) 的最小值點為 ( x=0 )），也可能存在多個點（如周期函數 ( f(x) = sin x ) 在 ( x = frac{3pi}{2} + 2kpi ) 處均取得全局最小值 -1）。
應用重要性：
在工程設計中，全局最小值對應成本最低的方案；在機器學習中，它代表模型誤差最小的最優參數組合。忽略全局性可能導緻陷入次優解（局部最小值），影響系統性能。

三、與局部最小值的區别

特征	全局最小值	局部最小值
定義域範圍	整個定義域 ( D )	某個鄰域 ( N subset D )
最優性	全局最優	局部最優
尋找難度	通常更難（需全局搜索算法）	較易（梯度下降等局部方法）
實際意義	絕對最優解	可能為次優解

四、實際應用場景

機器學習模型訓練：
損失函數的全局最小值對應模型的最優參數，但高維非凸函數中可能存在大量局部最小值，需通過隨機初始化、動量法等避免陷入局部最優。來源：《Pattern Recognition and Machine Learning》(Bishop, 2006), p. 242.
金融投資組合優化：
在給定風險約束下，尋找收益最大化的投資組合等價于最小化負收益函數，全局最小值對應最優資産配置方案。來源：《Operations Research: Applications and Algorithms》(Winston, 2004), p. 897.
控制系統設計：
最小化系統能耗或跟蹤誤差時，全局最小值确保設計滿足全局最優性能指标。來源：《Applied Optimal Control》(Bryson & Ho, 1975), p. 52.

參考文獻

Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
（定義與數學性質，第7章）

Nocedal, J., & Wright, S. (2006). Numerical Optimization. Springer.
（全局優化算法，第16章）

維基百科詞條 "Global optimization"（更新于2023年）：
https://en.wikipedia.org/wiki/Global_optimization

網絡擴展解釋

全局最小值是數學和優化問題中的一個核心概念，指函數在整個定義域内能取得的最小值。以下是詳細解釋：

一、定義與特點

全局最小值是函數在所有可能取值範圍内的最低點，即對任意自變量( x )，滿足： $$ f(x^) leq f(x) $$ 其中( x^ )為全局最小值點。與之相對的局部最小值僅在某鄰域内最小。

二、與局部最小值的區别

對比維度	全局最小值	局部最小值
範圍	整個定義域	某鄰域内
唯一性	可能唯一（如凸函數）	可能存在多個
優化目标	理想最優解	可能為次優解

三、存在條件

定義域封閉有界：例如閉區間上的連續函數（魏爾斯特拉斯定理）。
函數性質：凸函數必存在唯一全局最小值，而非凸函數可能有多個局部最小值。

四、實際應用

機器學習：在損失函數優化中，尋找全局最小可提升模型性能（但常因非凸性難以實現）。
工程優化：如結構設計、能源分配，全局最優解可顯著降低成本。
路徑規劃：尋找最短路徑時需避開局部最優的“陷阱”。

五、求解挑戰與方法

難點：非凸函數可能存在無數局部極小，傳統梯度下降易陷入局部最優。
算法：
- 隨機初始化：多次嘗試不同起點。
- 遺傳算法/粒子群：模拟自然選擇或群體智能跳出局部。
- 模拟退火：通過概率性接受次優解擴大搜索範圍。

示例分析

有全局最小：( f(x) = x )在實數域上，( x=0 )為唯一全局最小。
無全局最小：( f(x) = x )在實數域上趨向負無窮，無全局最小。

理解這一概念對解決複雜優化問題至關重要，但實際應用中常需權衡計算成本與解的近似程度。