不定矩陣英文解釋翻譯、不定矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 indefinite matrix

分詞翻譯：

不的英語翻譯：

nay; no; non-; nope; not; without
【醫】 a-; non-; un-

定的英語翻譯：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

不定矩陣（Indefinite Matrix）是線性代數與矩陣理論中的核心概念，指代一類在二次型中既不恒正定也不恒負定的方陣。具體而言，若存在向量$mathbf{x}$使得二次型$mathbf{x}^T A mathbf{x} > 0$，同時存在另一向量$mathbf{y}$使得$mathbf{y}^T A mathbf{y} < 0$，則矩陣$A$被稱為不定矩陣。

數學特性與判定

特征值混合性：不定矩陣的特征值包含正、負兩種符號，例如矩陣$begin{pmatrix} 1 & 00 & -1 end{pmatrix}$的特征值為$1$和$-1$。
二次型不穩定性：其對應的二次型函數在空間中不同方向上的取值符號變化明顯，常用于描述鞍點問題。

應用領域

優化理論：不定矩陣與凸優化中的非凸問題相關，例如某些經濟模型中的成本收益平衡分析。
物理學：在分析動力學系統穩定性時，能量函數對應的矩陣若為不定矩陣，表明系統可能存在多種能量狀态。

權威參考來源

《線性代數及其應用》（David C. Lay著）
劍橋大學數學系公開講義《矩陣理論與二次型》
美國數學學會（AMS）術語庫定義

網絡擴展解釋

不定矩陣是線性代數中的一個重要概念，主要用于描述具有特定性質的對稱矩陣。以下是綜合多個權威來源後的解釋：

基本定義
不定矩陣是指既不是半正定也不是半負定的埃爾米特矩陣（實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例）。這意味着該矩陣對應的二次型既包含正值也包含負值。例如，對于一個實對稱矩陣$A$，若存在向量$z_1$使得$z_1^T A z_1 > 0$，同時存在另一向量$z_2$使得$z_2^T A z_2 < 0$，則$A$為不定矩陣。
判定方法
- 特征值法：若矩陣的特征值同時包含正數和負數，則該矩陣為不定矩陣。
- 二次型法：通過驗證是否存在向量使二次型結果同時取正、負值來判斷。
- 黑塞矩陣應用：在多元函數極值判定中，若某點的黑塞矩陣為不定矩陣，則該點為鞍點而非極值點。
與相關概念對比
- 正定矩陣：所有特征值均為正，對應二次型恒正。
- 半正定矩陣：特征值非負，二次型非負。
- 不定矩陣：特征值有正有負，二次型結果隨向量不同而變號。

實際意義：不定矩陣在優化問題中尤為重要，例如判斷多元函數的鞍點時，黑塞矩陣的不定性是核心依據。這類矩陣在物理學和經濟學模型中也有廣泛應用，用于描述系統的不穩定狀态或混合型能量分布。