不定矩阵英文解释翻译、不定矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 indefinite matrix

分词翻译：

不的英语翻译：

nay; no; non-; nope; not; without
【医】 a-; non-; un-

定的英语翻译：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

不定矩阵（Indefinite Matrix）是线性代数与矩阵理论中的核心概念，指代一类在二次型中既不恒正定也不恒负定的方阵。具体而言，若存在向量$mathbf{x}$使得二次型$mathbf{x}^T A mathbf{x} > 0$，同时存在另一向量$mathbf{y}$使得$mathbf{y}^T A mathbf{y} < 0$，则矩阵$A$被称为不定矩阵。

数学特性与判定

特征值混合性：不定矩阵的特征值包含正、负两种符号，例如矩阵$begin{pmatrix} 1 & 00 & -1 end{pmatrix}$的特征值为$1$和$-1$。
二次型不稳定性：其对应的二次型函数在空间中不同方向上的取值符号变化明显，常用于描述鞍点问题。

应用领域

优化理论：不定矩阵与凸优化中的非凸问题相关，例如某些经济模型中的成本收益平衡分析。
物理学：在分析动力学系统稳定性时，能量函数对应的矩阵若为不定矩阵，表明系统可能存在多种能量状态。

权威参考来源

《线性代数及其应用》（David C. Lay著）
剑桥大学数学系公开讲义《矩阵理论与二次型》
美国数学学会（AMS）术语库定义

网络扩展解释

不定矩阵是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述具有特定性质的对称矩阵。以下是综合多个权威来源后的解释：

基本定义
不定矩阵是指既不是半正定也不是半负定的埃尔米特矩阵（实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例）。这意味着该矩阵对应的二次型既包含正值也包含负值。例如，对于一个实对称矩阵$A$，若存在向量$z_1$使得$z_1^T A z_1 > 0$，同时存在另一向量$z_2$使得$z_2^T A z_2 < 0$，则$A$为不定矩阵。
判定方法
- 特征值法：若矩阵的特征值同时包含正数和负数，则该矩阵为不定矩阵。
- 二次型法：通过验证是否存在向量使二次型结果同时取正、负值来判断。
- 黑塞矩阵应用：在多元函数极值判定中，若某点的黑塞矩阵为不定矩阵，则该点为鞍点而非极值点。
与相关概念对比
- 正定矩阵：所有特征值均为正，对应二次型恒正。
- 半正定矩阵：特征值非负，二次型非负。
- 不定矩阵：特征值有正有负，二次型结果随向量不同而变号。

实际意义：不定矩阵在优化问题中尤为重要，例如判断多元函数的鞍点时，黑塞矩阵的不定性是核心依据。这类矩阵在物理学和经济学模型中也有广泛应用，用于描述系统的不稳定状态或混合型能量分布。