不變多項式英文解釋翻譯、不變多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 invariant polynomial

分詞翻譯：

不變的英語翻譯：

fixedness; immovability; invariability; steadiness

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

專業解析

在數學與抽象代數領域中，"不變多項式"（英文：invariant polynomial）指在特定變換群作用下保持形式不變的多項式。這類多項式的研究起源于19世紀不變量理論，現廣泛應用于代數幾何、拓撲學（如示性類）和理論物理等領域。

核心定義：設群$G$作用在多項式環$R[x_1,...,x_n]$上，若多項式$f in R[x_1,...,x_n]$滿足$forall g in G$有$g cdot f = f$，則稱$f$為$G$-不變多項式。其數學表達為： $$ g(f(x_1,x_2,...,x_n)) = f(g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)) = f(x_1,x_2,...,x_n) $$

典型應用包括：

對稱多項式（如初等對稱多項式$sigmak = sum x{i1}cdots x{i_k}}$），對應對稱群作用下的不變量
微分幾何中Chern-Weil理論構造的特征類，通過李群作用下的不變多項式描述纖維叢拓撲性質
物理規範場論中，Yang-Mills作用量等物理量常表現為規範群作用下的不變量

參考文獻：該定義可參考Springer出版的《Algebraic Groups and Their Representations》第4章（來源：SpringerLink），具體示例分析見美國數學會《Proceedings of Symposia in Pure Mathematics》第80卷關于不變量理論的讨論（來源：AMS Publications）。

網絡擴展解釋

不變多項式（Invariant Polynomial）是代數學中的一個重要概念，尤其在群作用和不變量理論中具有核心地位。以下是詳細解釋：

1.定義

不變多項式指在某個群 ( G ) 的作用下保持不變的多元多項式。具體來說：

設群 ( G ) 作用在多項式環 ( K[x_1, x_2, dots, x_n] ) 上（( K ) 是域）。
若多項式 ( f ) 滿足對任意群元素 ( g in G )，有 ( g cdot f = f )，則稱 ( f ) 是( G )-不變多項式。

2.經典例子

對稱多項式：當 ( G ) 為對稱群 ( S_n )（對變量 ( x_1, dots, x_n ) 進行置換）時，不變多項式即對稱多項式。例如：
- 初等對稱多項式：( e_1 = x_1 + x_2 + dots + x_n )，( e2 = sum{i<j} x_i x_j )，等等。
- 對稱和：( x_1^k + x_2^k + dots + x_n^k )。
正交群作用下的不變量：在正交群 ( O(n) ) 作用下，( f(x_1, dots, x_n) = x_1 + x_2 + dots + x_n ) 是典型的二次不變多項式。

3.性質

代數結構：所有不變多項式構成一個子環，稱為不變環（Invariant Ring），記為 ( K[x_1, dots, x_n]^G )。
有限生成性（Noether定理）：當 ( G ) 是有限群且 ( K ) 的特征不整除 ( |G| ) 時，不變環是有限生成的。
幾何意義：在代數幾何中，不變環對應商空間 ( mathbb{A}^n / G ) 的坐标環。

4.應用領域

不變量理論：研究對稱系統的代數結構，例如物理中的守恒量。
代數幾何與模空間：通過不變多項式參數化幾何對象的模空間。
組合數學：對稱多項式與對稱函數理論聯繫密切，用于計數問題。

5.構造方法

對稱化算子：對任意多項式 ( f )，其對稱化形式 ( frac{1}{|G|} sum_{g in G} g cdot f ) 是不變的。
生成元與基本定理：例如，對稱多項式環由初等對稱多項式生成，滿足Vieta公式。

總結來看，不變多項式是群作用下保持“對稱性”的多項式，其研究融合了群論、環論與幾何，是連接抽象代數與實際應用的關鍵工具。