不变多项式英文解释翻译、不变多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 invariant polynomial

分词翻译：

不变的英语翻译：

fixedness; immovability; invariability; steadiness

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

专业解析

在数学与抽象代数领域中，"不变多项式"（英文：invariant polynomial）指在特定变换群作用下保持形式不变的多项式。这类多项式的研究起源于19世纪不变量理论，现广泛应用于代数几何、拓扑学（如示性类）和理论物理等领域。

核心定义：设群$G$作用在多项式环$R[x_1,...,x_n]$上，若多项式$f in R[x_1,...,x_n]$满足$forall g in G$有$g cdot f = f$，则称$f$为$G$-不变多项式。其数学表达为： $$ g(f(x_1,x_2,...,x_n)) = f(g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)) = f(x_1,x_2,...,x_n) $$

典型应用包括：

对称多项式（如初等对称多项式$sigmak = sum x{i1}cdots x{i_k}}$），对应对称群作用下的不变量
微分几何中Chern-Weil理论构造的特征类，通过李群作用下的不变多项式描述纤维丛拓扑性质
物理规范场论中，Yang-Mills作用量等物理量常表现为规范群作用下的不变量

参考文献：该定义可参考Springer出版的《Algebraic Groups and Their Representations》第4章（来源：SpringerLink），具体示例分析见美国数学会《Proceedings of Symposia in Pure Mathematics》第80卷关于不变量理论的讨论（来源：AMS Publications）。

网络扩展解释

不变多项式（Invariant Polynomial）是代数学中的一个重要概念，尤其在群作用和不变量理论中具有核心地位。以下是详细解释：

1.定义

不变多项式指在某个群 ( G ) 的作用下保持不变的多元多项式。具体来说：

设群 ( G ) 作用在多项式环 ( K[x_1, x_2, dots, x_n] ) 上（( K ) 是域）。
若多项式 ( f ) 满足对任意群元素 ( g in G )，有 ( g cdot f = f )，则称 ( f ) 是( G )-不变多项式。

2.经典例子

对称多项式：当 ( G ) 为对称群 ( S_n )（对变量 ( x_1, dots, x_n ) 进行置换）时，不变多项式即对称多项式。例如：
- 初等对称多项式：( e_1 = x_1 + x_2 + dots + x_n )，( e2 = sum{i<j} x_i x_j )，等等。
- 对称和：( x_1^k + x_2^k + dots + x_n^k )。
正交群作用下的不变量：在正交群 ( O(n) ) 作用下，( f(x_1, dots, x_n) = x_1 + x_2 + dots + x_n ) 是典型的二次不变多项式。

3.性质

代数结构：所有不变多项式构成一个子环，称为不变环（Invariant Ring），记为 ( K[x_1, dots, x_n]^G )。
有限生成性（Noether定理）：当 ( G ) 是有限群且 ( K ) 的特征不整除 ( |G| ) 时，不变环是有限生成的。
几何意义：在代数几何中，不变环对应商空间 ( mathbb{A}^n / G ) 的坐标环。

4.应用领域

不变量理论：研究对称系统的代数结构，例如物理中的守恒量。
代数几何与模空间：通过不变多项式参数化几何对象的模空间。
组合数学：对称多项式与对称函数理论联系密切，用于计数问题。

5.构造方法

对称化算子：对任意多项式 ( f )，其对称化形式 ( frac{1}{|G|} sum_{g in G} g cdot f ) 是不变的。
生成元与基本定理：例如，对称多项式环由初等对称多项式生成，满足Vieta公式。

总结来看，不变多项式是群作用下保持“对称性”的多项式，其研究融合了群论、环论与几何，是连接抽象代数与实际应用的关键工具。