數值求積分英文解釋翻譯、數值求積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 numerical quadrature

分詞翻譯：

數值的英語翻譯：

numerical value
【計】 value of number
【經】 numerical value; quantitative value

求的英語翻譯：

beg; entreat; request; seek; try

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

數值求積分（Numerical Integration）指通過離散化近似計算函數定積分值的方法。當函數解析表達式複雜或僅能通過離散數據點描述時，該方法通過構造求和公式逼近積分結果，區别于解析求解的精确閉式表達。

一、核心概念

數學定義
對函數 ( f(x) ) 在區間 ([a, b]) 的積分 (int_a^b f(x) , dx)，數值積分構造近似公式：

$$ inta^b f(x) , dx approx sum{i=0}^{n} w_i f(x_i) $$

其中 ( x_i ) 為節點（離散點），( w_i ) 為對應權重系數，精度取決于節點選取與算法設計。
與解析積分的區别
解析積分依賴牛頓-萊布尼茨公式求得精确解，而數值積分適用于：
- 原函數無初等表達式（如 ( e^{-x} )）
- 僅已知離散數據點（如實驗測量值）
- 高維積分計算。

二、常用算法及原理

梯形法則（Trapezoidal Rule）
将積分區間等分為 ( n ) 個子區間，用梯形面積近似曲邊梯形：

$$ inta^b f(x) , dx approx frac{h}{2} left[ f(a) + 2sum{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) right], quad h=frac{b-a}{n} $$

誤差階為 ( O(h) )，適用于光滑函數。
辛普森法則（Simpson's Rule）
采用二次多項式逼近，需偶數子區間：

$$ inta^b f(x) , dx approx frac{h}{3} left[ f(a) + 4sum{text{奇}} f(xi) + 2sum{text{偶}} f(x_i) + f(b) right] $$

誤差階 ( O(h) )，精度顯著優于梯形法。
高斯求積（Gaussian Quadrature）
通過優化節點位置與權重系數，使 ( n ) 點公式對 ( 2n-1 ) 次多項式精确成立。例如兩點高斯-勒讓德公式：

$$ int_{-1} f(x) , dx approx fleft(-frac{1}{sqrt{3}}right) + fleft(frac{1}{sqrt{3}}right) $$

適用于高精度需求場景。

三、應用場景

工程計算：有限元分析中的剛度矩陣積分
物理建模：量子力學波函數概率計算
金融數學：期權定價的蒙特卡洛積分
計算機科學：渲染方程的光線追蹤求解

權威參考來源：

MIT OpenCourseWare《數值分析導論》課程鍊接（算法推導）

NIST《數學函數數字手冊》章節鍊接（誤差分析标準）

SIAM《科學計算經典方法》書籍鍊接（工程實踐案例）

網絡擴展解釋

數值求積分（數值積分）是一種通過數值方法近似計算定積分 (int_{a}^{b} f(x) , dx) 的技術，適用于無法解析求解（如原函數難以找到）或函數形式未知（僅有離散數據點）的情況。以下是核心要點：

1.基本思想

數值積分通過将積分區間 ([a, b]) 劃分為若幹小區間，用簡單函數（如多項式）近似原函數 (f(x))，再計算這些小區間上的積分之和。常用方法包括：

梯形法則：用直線連接相鄰數據點，形成梯形區域求和。
辛普森法則：用抛物線拟合每兩個小區間，提高精度。
高斯積分：通過最優節點和權重選擇，達到高精度（尤其適合光滑函數）。

2.關鍵公式示例

梯形法則（區間均分）： $$ int{a}^{b} f(x) , dx approx frac{h}{2} left[ f(a) + 2sum{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) right] $$ 其中 (h = frac{b-a}{n}) 為步長，(n) 為區間分段數。
辛普森法則（需偶數區間分段）： $$ int{a}^{b} f(x) , dx approx frac{h}{3} left[ f(a) + 4sum{text{奇點}} f(xi) + 2sum{text{偶點}} f(x_i) + f(b) right] $$

3.誤差與適用性

梯形法則：誤差 (O(h))，適合平緩函數。
辛普森法則：誤差 (O(h))，對光滑函數更高效。
高斯積分：通過非均勻節點選取，達到指數收斂速度（對高振蕩函數表現優）。

4.應用場景

工程計算（如有限元分析中的剛度矩陣積分）。
物理模拟（如計算不規則物體的質心）。
數據處理（僅有離散采樣點時估算積分）。

5.注意事項

步長 (h) 越小，精度越高，但計算量增大。
對高振蕩或不連續函數，需選擇適應性方法（如自適應積分）。

如果需要具體實現代碼或更深入的理論推導，可進一步說明應用背景。