数值求积分英文解释翻译、数值求积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 numerical quadrature

分词翻译：

数值的英语翻译：

numerical value
【计】 value of number
【经】 numerical value; quantitative value

求的英语翻译：

beg; entreat; request; seek; try

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

数值求积分（Numerical Integration）指通过离散化近似计算函数定积分值的方法。当函数解析表达式复杂或仅能通过离散数据点描述时，该方法通过构造求和公式逼近积分结果，区别于解析求解的精确闭式表达。

一、核心概念

数学定义
对函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 的积分 (int_a^b f(x) , dx)，数值积分构造近似公式：

$$ inta^b f(x) , dx approx sum{i=0}^{n} w_i f(x_i) $$

其中 ( x_i ) 为节点（离散点），( w_i ) 为对应权重系数，精度取决于节点选取与算法设计。
与解析积分的区别
解析积分依赖牛顿-莱布尼茨公式求得精确解，而数值积分适用于：
- 原函数无初等表达式（如 ( e^{-x} )）
- 仅已知离散数据点（如实验测量值）
- 高维积分计算。

二、常用算法及原理

梯形法则（Trapezoidal Rule）
将积分区间等分为 ( n ) 个子区间，用梯形面积近似曲边梯形：

$$ inta^b f(x) , dx approx frac{h}{2} left[ f(a) + 2sum{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) right], quad h=frac{b-a}{n} $$

误差阶为 ( O(h) )，适用于光滑函数。
辛普森法则（Simpson's Rule）
采用二次多项式逼近，需偶数子区间：

$$ inta^b f(x) , dx approx frac{h}{3} left[ f(a) + 4sum{text{奇}} f(xi) + 2sum{text{偶}} f(x_i) + f(b) right] $$

误差阶 ( O(h) )，精度显著优于梯形法。
高斯求积（Gaussian Quadrature）
通过优化节点位置与权重系数，使 ( n ) 点公式对 ( 2n-1 ) 次多项式精确成立。例如两点高斯-勒让德公式：

$$ int_{-1} f(x) , dx approx fleft(-frac{1}{sqrt{3}}right) + fleft(frac{1}{sqrt{3}}right) $$

适用于高精度需求场景。

三、应用场景

工程计算：有限元分析中的刚度矩阵积分
物理建模：量子力学波函数概率计算
金融数学：期权定价的蒙特卡洛积分
计算机科学：渲染方程的光线追踪求解

权威参考来源：

MIT OpenCourseWare《数值分析导论》课程链接（算法推导）

NIST《数学函数数字手册》章节链接（误差分析标准）

SIAM《科学计算经典方法》书籍链接（工程实践案例）

网络扩展解释

数值求积分（数值积分）是一种通过数值方法近似计算定积分 (int_{a}^{b} f(x) , dx) 的技术，适用于无法解析求解（如原函数难以找到）或函数形式未知（仅有离散数据点）的情况。以下是核心要点：

1.基本思想

数值积分通过将积分区间 ([a, b]) 划分为若干小区间，用简单函数（如多项式）近似原函数 (f(x))，再计算这些小区间上的积分之和。常用方法包括：

梯形法则：用直线连接相邻数据点，形成梯形区域求和。
辛普森法则：用抛物线拟合每两个小区间，提高精度。
高斯积分：通过最优节点和权重选择，达到高精度（尤其适合光滑函数）。

2.关键公式示例

梯形法则（区间均分）： $$ int{a}^{b} f(x) , dx approx frac{h}{2} left[ f(a) + 2sum{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) right] $$ 其中 (h = frac{b-a}{n}) 为步长，(n) 为区间分段数。
辛普森法则（需偶数区间分段）： $$ int{a}^{b} f(x) , dx approx frac{h}{3} left[ f(a) + 4sum{text{奇点}} f(xi) + 2sum{text{偶点}} f(x_i) + f(b) right] $$

3.误差与适用性

梯形法则：误差 (O(h))，适合平缓函数。
辛普森法则：误差 (O(h))，对光滑函数更高效。
高斯积分：通过非均匀节点选取，达到指数收敛速度（对高振荡函数表现优）。

4.应用场景

工程计算（如有限元分析中的刚度矩阵积分）。
物理模拟（如计算不规则物体的质心）。
数据处理（仅有离散采样点时估算积分）。

5.注意事项

步长 (h) 越小，精度越高，但计算量增大。
对高振荡或不连续函数，需选择适应性方法（如自适应积分）。

如果需要具体实现代码或更深入的理论推导，可进一步说明应用背景。