双曲线函数英文解释翻译、双曲线函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【电】 hyperbolic error function

分词翻译：

双曲线的英语翻译：

hyperbola
【医】 recurved line

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

双曲线函数（Hyperbolic Functions）是一类与双曲线密切相关的数学函数，其定义与三角函数相似但基于自然指数函数构建。该函数族包含双曲正弦（sinh）、双曲余弦（cosh）、双曲正切（tanh）等基础函数，在工程学、物理学和微分方程领域有广泛应用。

核心定义与表达式

双曲正弦函数（sinh）
定义为：

$$sinh(x) = frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

该函数图像呈现中心对称的"S"型曲线，导数为双曲余弦函数。
双曲余弦函数（cosh）
表达式为：

$$cosh(x) = frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

其图像为悬链线形状，导数为双曲正弦函数，在物理学中用于描述悬索桥的曲线形态（来源：《数学分析基础教程》）。
双曲正切函数（tanh）
由双曲正弦与双曲余弦的比值构成：

$$tanh(x) = frac{sinh(x)}{cosh(x)} = frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

该函数在神经网络激活函数设计中具有重要作用（来源：IEEE计算数学期刊）。

应用领域

电磁场理论：双曲线函数用于描述电磁波传播方程中的衰减特性
相对论时空几何：闵可夫斯基时空度规使用双曲函数表达坐标变换
热传导方程：在非稳态热传导问题中作为分离变量法的解函数出现（来源：《工程数学手册》）。

与圆函数的对比

双曲线函数与三角函数共享类似恒等式，例如：

$$cosh(x) - sinh(x) = 1$$

但参数对应关系不同，三角函数关联单位圆，而双曲线函数关联等轴双曲线（来源：美国数学学会术语标准）。

网络扩展解释

双曲线函数（又称双曲函数）是一类与双曲线相关的数学函数，与三角函数类似但具有不同的几何和代数性质。以下是其核心要点：

1. 基本定义

双曲线函数通过指数函数定义，常见的有：

双曲正弦（sinh）：
$$sinh x = frac{e^x - e^{-x}}{2}$$
双曲余弦（cosh）：
$$cosh x = frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
双曲正切（tanh）：
$$tanh x = frac{sinh x}{cosh x} = frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

2. 几何意义

双曲函数参数化单位双曲线 (x - y = 1)，类似于三角函数参数化单位圆：

点 ((cosh t, sinh t)) 位于双曲线右半支上，参数 (t) 是双曲线角（面积的两倍）。

3. 核心性质

恒等式：
$$cosh x - sinh x = 1$$
类比三角函数的 (cos x + sin x = 1)。
导数关系：
$$frac{d}{dx}sinh x = cosh x, quad frac{d}{dx}cosh x = sinh x$$
奇偶性：
(sinh x) 是奇函数，(cosh x) 是偶函数。

4. 应用领域

物理学：描述悬链线（如悬挂的链条）、相对论中的洛伦兹变换。
工程学：热传导方程、电磁波传播。
数学分析：积分计算（如 (int frac{dx}{sqrt{x+1}} = sinh^{-1} x + C)）。

5. 反双曲函数

反函数用于解决方程，例如：

(sinh^{-1} x = ln(x + sqrt{x + 1}))
(cosh^{-1} x = ln(x + sqrt{x - 1}) quad (x geq 1))

双曲线函数通过指数定义，与双曲线几何紧密相关，并在科学和工程中广泛用于描述非线性现象。其形式与三角函数相似，但代数符号和几何背景不同。