根检验法英文解释翻译、根检验法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 root test

分词翻译：

根的英语翻译：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

检验的英语翻译：

check up; examine; inspect; proof; prove
【计】 CH; checkout; V; verify; verify check; verifying
【化】 checking; examine
【医】 analysis; coroner's inquest; docimasia
【经】 inspection; monitoring; proof; test; verification; verify

法的英语翻译：

dharma; divisor; follow; law; standard
【医】 method
【经】 law

专业解析

根检验法（Root Test），中文又称根值判别法，是数学分析中用于判定无穷级数绝对收敛性的一种重要方法。其核心思想是通过分析级数通项绝对值的 n 次方根的极限行为来判断级数的敛散性。

定义与原理 (Definition and Principle): 对于给定的无穷级数 (sum_{n=1}^{infty} a_n)，计算其通项绝对值 (|an|) 的 n 次方根的极限上确界： [ rho = limsup{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} ] 根据 (rho) 的值，根检验法给出如下结论：

若 (rho < 1)：级数 (sum_{n=1}^{infty} a_n)绝对收敛。
若 (rho > 1) (包括 (rho = infty))：级数 (sum_{n=1}^{infty} a_n)发散。
若 (rho = 1)：根检验法失效，无法判定级数的敛散性，需借助其他判别法（如比值判别法、积分判别法等）进一步分析。

应用步骤 (Application Steps):

计算序列 (sqrt[n]{|a_n|})。
求该序列的极限上确界 (rho = limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|})。
根据 (rho) 的值应用上述判定规则。

示例 (Example): 考虑级数 (sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n})。

计算 (sqrt[n]{|a_n|} = sqrt[n]{frac{n}{2^n}} = frac{sqrt[n]{n}}{2})。
已知 (lim{n to infty} sqrt[n]{n} = 1)，因此 (lim{n to infty} frac{sqrt[n]{n}}{2} = frac{1}{2} = rho)。
由于 (rho = 0.5 < 1)，根据根检验法，该级数绝对收敛。

与比值检验法的关系 (Relation to Ratio Test): 根检验法在理论上比比值检验法更强大（即当比值检验法失效时，根检验法有时仍可得出结论），但在实际计算中，比值检验法（基于 (lim{n to infty} |a{n+1}/a_n|)）通常更易操作。当通项包含 n 次幂（如 (a_n = b_n^n)）时，根检验法往往更直接有效。

参考来源 (References):

《数学分析》（华东师范大学数学系编） - 国内广泛使用的数学分析教材，对根值判别法有标准定义和例题讲解。
"Root Test" - Wolfram MathWorld - 权威的在线数学百科全书，提供根检验法的精确定义、公式、相关定理及示例。来源：mathworld.wolfram.com/RootTest.html
Thomas' Calculus (14th Edition) - 国际经典微积分教材，对根检验法（Root Test）的原理和应用有清晰阐述，包含典型例题。来源：Pearson Education.
"Convergence Tests" - Paul's Online Math Notes - 受欢迎的在线数学学习笔记，系统总结了包括根检验法在内的各种级数收敛判别法及其适用场景。来源：tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/SeriesTests.aspx

网络扩展解释

根据搜索结果显示，“根检验法”（Root Test）是数学分析中用于判断无穷级数收敛性的一种方法，主要适用于通项含n次幂的级数。以下是详细解释：

一、定义与公式根检验法通过计算极限值： $$ rho = limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} $$ 其中( a_n )是级数的通项。根据(rho)的值判断级数收敛性：

若(rho < 1)，级数绝对收敛；
若(rho > 1)，级数发散；
若(rho = 1)，检验法无法判定，需改用其他方法。

二、典型应用场景

通项含指数形式：如( a_n = frac{2^n}{n} )，直接计算(rho = lim sqrt[n]{2^n/n} = 2)，因(rho >1)，级数发散。
与积分检验法互补：当(rho=1)时，例如调和级数(sum frac{1}{n})（发散）和(sum frac{1}{n})（收敛），根检验法均失效，需借助积分判别法或比较判别法。

三、注意事项

极限计算技巧：对于复杂表达式，可结合自然对数化简，例如(sqrt[n]{n} = e^{frac{ln n}{n}} to 1)。
适用范围限制：对交替级数或条件收敛级数，需结合莱布尼茨判别法等其他工具。

如需进一步了解收敛性检验方法体系，可参考数学分析教材中的级数章节。