根檢驗法英文解釋翻譯、根檢驗法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 root test

分詞翻譯：

根的英語翻譯：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【醫】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

檢驗的英語翻譯：

check up; examine; inspect; proof; prove
【計】 CH; checkout; V; verify; verify check; verifying
【化】 checking; examine
【醫】 analysis; coroner's inquest; docimasia
【經】 inspection; monitoring; proof; test; verification; verify

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

根檢驗法（Root Test），中文又稱根值判别法，是數學分析中用于判定無窮級數絕對收斂性的一種重要方法。其核心思想是通過分析級數通項絕對值的 n 次方根的極限行為來判斷級數的斂散性。

定義與原理 (Definition and Principle): 對于給定的無窮級數 (sum_{n=1}^{infty} a_n)，計算其通項絕對值 (|an|) 的 n 次方根的極限上确界： [ rho = limsup{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} ] 根據 (rho) 的值，根檢驗法給出如下結論：

若 (rho < 1)：級數 (sum_{n=1}^{infty} a_n)絕對收斂。
若 (rho > 1) (包括 (rho = infty))：級數 (sum_{n=1}^{infty} a_n)發散。
若 (rho = 1)：根檢驗法失效，無法判定級數的斂散性，需借助其他判别法（如比值判别法、積分判别法等）進一步分析。

應用步驟 (Application Steps):

計算序列 (sqrt[n]{|a_n|})。
求該序列的極限上确界 (rho = limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|})。
根據 (rho) 的值應用上述判定規則。

示例 (Example): 考慮級數 (sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n})。

計算 (sqrt[n]{|a_n|} = sqrt[n]{frac{n}{2^n}} = frac{sqrt[n]{n}}{2})。
已知 (lim{n to infty} sqrt[n]{n} = 1)，因此 (lim{n to infty} frac{sqrt[n]{n}}{2} = frac{1}{2} = rho)。
由于 (rho = 0.5 < 1)，根據根檢驗法，該級數絕對收斂。

與比值檢驗法的關系 (Relation to Ratio Test): 根檢驗法在理論上比比值檢驗法更強大（即當比值檢驗法失效時，根檢驗法有時仍可得出結論），但在實際計算中，比值檢驗法（基于 (lim{n to infty} |a{n+1}/a_n|)）通常更易操作。當通項包含 n 次幂（如 (a_n = b_n^n)）時，根檢驗法往往更直接有效。

參考來源 (References):

《數學分析》（華東師範大學數學系編） - 國内廣泛使用的數學分析教材，對根值判别法有标準定義和例題講解。
"Root Test" - Wolfram MathWorld - 權威的線上數學百科全書，提供根檢驗法的精确定義、公式、相關定理及示例。來源：mathworld.wolfram.com/RootTest.html
Thomas' Calculus (14th Edition) - 國際經典微積分教材，對根檢驗法（Root Test）的原理和應用有清晰闡述，包含典型例題。來源：Pearson Education.
"Convergence Tests" - Paul's Online Math Notes - 受歡迎的線上數學學習筆記，系統總結了包括根檢驗法在内的各種級數收斂判别法及其適用場景。來源：tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/SeriesTests.aspx

網絡擴展解釋

根據搜索結果顯示，“根檢驗法”（Root Test）是數學分析中用于判斷無窮級數收斂性的一種方法，主要適用于通項含n次幂的級數。以下是詳細解釋：

一、定義與公式根檢驗法通過計算極限值： $$ rho = limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} $$ 其中( a_n )是級數的通項。根據(rho)的值判斷級數收斂性：

若(rho < 1)，級數絕對收斂；
若(rho > 1)，級數發散；
若(rho = 1)，檢驗法無法判定，需改用其他方法。

二、典型應用場景

通項含指數形式：如( a_n = frac{2^n}{n} )，直接計算(rho = lim sqrt[n]{2^n/n} = 2)，因(rho >1)，級數發散。
與積分檢驗法互補：當(rho=1)時，例如調和級數(sum frac{1}{n})（發散）和(sum frac{1}{n})（收斂），根檢驗法均失效，需借助積分判别法或比較判别法。

三、注意事項

極限計算技巧：對于複雜表達式，可結合自然對數化簡，例如(sqrt[n]{n} = e^{frac{ln n}{n}} to 1)。
適用範圍限制：對交替級數或條件收斂級數，需結合萊布尼茨判别法等其他工具。

如需進一步了解收斂性檢驗方法體系，可參考數學分析教材中的級數章節。