凹函数英文解释翻译、凹函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 concave function

concave; dent; fovea; hollow
【医】 concavity; depression; faveoli; faveolus; fossa; fossae; fovea; hollow
koilo-; lenus; pit; sink; venter

function
【计】 F; FUNC; function

凹函数（Concave Function）是数学分析中的重要概念，其定义在不同语境中存在差异，需结合中英文术语对照及几何特征综合理解：

中文定义分歧
- 国际标准：中文“凹函数”通常对应英文“convex function”（凸函数），指函数图像任意两点连线位于图像上方（如碗口向上）。例如函数 $f(x)=x$。
- 中国教材习惯：部分中文文献将“concave function”译为“凹函数”，描述图像任意两点连线位于图像下方（如碗口向下），例如 $f(x)=-x$。
核心数学定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上为凹函数（国际标准）当且仅当：

$$ f(lambda x + (1-lambda)y) geq lambda f(x) + (1-lambda)f(y) $$ 对所有 $x,y in I$ 和 $lambda in $ 成立。该性质称为Jensen不等式。

凸分析经典定义
R.T. Rockafellar 在《Convex Analysis》（1970）中明确：

A function $f$ isconcave if $-f$ is convex.
（函数 $f$ 是凹函数当且仅当其负函数 $-f$ 为凸函数）
优化理论应用
Boyd与Vandenberghe在《Convex Optimization》（2004）中指出：

Concave functions are those for which the line segment between any two points on the graph liesbelow the graph.
（凹函数的图像上任意两点间的线段位于图像下方）

凹函数在以下领域具有关键作用：

术语辨析建议：在学术写作中，推荐明确采用“凹函数=concave function”的国际标准，或首次出现时标注定义以避免歧义。

凹函数是数学分析中描述函数图像形状的重要概念，其核心特征是函数曲线上任意两点间的连线位于曲线下方。具体可分为以下几个层面解释：

数学定义
- 一阶条件：对定义域内任意两点x₁、x₂和λ∈，满足
  $$f(λx₁ + (1-λ)x₂) geq λf(x₁) + (1-λ)f(x₂)$$
- 二阶条件：若函数二阶可导，则满足
  $$f''(x) leq 0 quad (forall x in 定义域)$$
几何特征函数图像呈"向下弯曲"的碗状，如抛物线y=-x²。曲线上任意取两点连线，连线始终位于曲线下方，与凸函数的特征相反。
严格凹函数当定义式中的不等式严格成立时（除端点外），称为严格凹函数，此时函数图像没有平直部分，如y=-eˣ。
特殊情形
- 线性函数同时满足凸函数和凹函数定义
- 二次函数ax²+bx+c的凹性仅由a的符号决定（a<0时凹）
应用领域常见于经济学中的效用函数（反映边际效用递减）、优化理论的最大值问题等。例如风险厌恶者的效用函数通常呈凹性。

与凹函数相对的凸函数，其定义式的不等式方向相反。需要注意的是，部分中文教材会使用"上凸函数"指代凹函数，阅读时需结合具体定义确认。