凹函數英文解釋翻譯、凹函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 concave function

concave; dent; fovea; hollow
【醫】 concavity; depression; faveoli; faveolus; fossa; fossae; fovea; hollow
koilo-; lenus; pit; sink; venter

function
【計】 F; FUNC; function

凹函數（Concave Function）是數學分析中的重要概念，其定義在不同語境中存在差異，需結合中英文術語對照及幾何特征綜合理解：

中文定義分歧
- 國際标準：中文“凹函數”通常對應英文“convex function”（凸函數），指函數圖像任意兩點連線位于圖像上方（如碗口向上）。例如函數 $f(x)=x$。
- 中國教材習慣：部分中文文獻将“concave function”譯為“凹函數”，描述圖像任意兩點連線位于圖像下方（如碗口向下），例如 $f(x)=-x$。
核心數學定義
函數 $f$ 在區間 $I$ 上為凹函數（國際标準）當且僅當：

$$ f(lambda x + (1-lambda)y) geq lambda f(x) + (1-lambda)f(y) $$ 對所有 $x,y in I$ 和 $lambda in $ 成立。該性質稱為Jensen不等式。

凸分析經典定義
R.T. Rockafellar 在《Convex Analysis》（1970）中明确：

A function $f$ isconcave if $-f$ is convex.
（函數 $f$ 是凹函數當且僅當其負函數 $-f$ 為凸函數）
優化理論應用
Boyd與Vandenberghe在《Convex Optimization》（2004）中指出：

Concave functions are those for which the line segment between any two points on the graph liesbelow the graph.
（凹函數的圖像上任意兩點間的線段位于圖像下方）

凹函數在以下領域具有關鍵作用：

術語辨析建議：在學術寫作中，推薦明确采用“凹函數=concave function”的國際标準，或首次出現時标注定義以避免歧義。

凹函數是數學分析中描述函數圖像形狀的重要概念，其核心特征是函數曲線上任意兩點間的連線位于曲線下方。具體可分為以下幾個層面解釋：

數學定義
- 一階條件：對定義域内任意兩點x₁、x₂和λ∈，滿足
  $$f(λx₁ + (1-λ)x₂) geq λf(x₁) + (1-λ)f(x₂)$$
- 二階條件：若函數二階可導，則滿足
  $$f''(x) leq 0 quad (forall x in 定義域)$$
幾何特征函數圖像呈"向下彎曲"的碗狀，如抛物線y=-x²。曲線上任意取兩點連線，連線始終位于曲線下方，與凸函數的特征相反。
嚴格凹函數當定義式中的不等式嚴格成立時（除端點外），稱為嚴格凹函數，此時函數圖像沒有平直部分，如y=-eˣ。
特殊情形
- 線性函數同時滿足凸函數和凹函數定義
- 二次函數ax²+bx+c的凹性僅由a的符號決定（a<0時凹）
應用領域常見于經濟學中的效用函數（反映邊際效用遞減）、優化理論的最大值問題等。例如風險厭惡者的效用函數通常呈凹性。

與凹函數相對的凸函數，其定義式的不等式方向相反。需要注意的是，部分中文教材會使用"上凸函數"指代凹函數，閱讀時需結合具體定義确認。