半连续函数英文解释翻译、半连续函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 semicontinuous function

half; in the middle; semi-
【计】 semi
【医】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【经】 quasi

【计】 continuous function

半连续函数（semi-continuous function）是实分析中描述函数局部性质的重要概念，分为上半连续（upper semi-continuous）和下半连续（lower semi-continuous）两类。以下从定义、数学表达和应用场景三方面展开说明：

上半连续：若对任意点( x_0 )，函数( f(x) )在( x0 )处的上极限不超过其函数值，即 $$ limsup{x to x_0} f(x) leq f(x_0), $$ 则称( f(x) )在( x_0 )处上半连续。
下半连续：若对任意点( x_0 )，函数( f(x) )在( x0 )处的下极限不低于其函数值，即 $$ liminf{x to x_0} f(x) geq f(x_0), $$ 则称( f(x) )在( x_0 )处下半连续。

上半连续函数的例子包括阶梯函数和分段常数函数。例如，定义在区间[0,1]上的函数( f(x) = begin{cases} 1 & x in mathbb{Q}0 & x otin mathbb{Q} end{cases} )是上半连续的。
下半连续函数的例子常见于凸函数，如( f(x) = |x| )在实数域上是下半连续的。

半连续性在优化理论、经济学中的效用函数分析以及拓扑学中具有关键作用。例如，在极小化问题中，下半连续性可保证极值的存在性（参考《Convex Analysis》by R.T. Rockafellar。

半连续函数是数学分析中一类特殊的函数，它在每一点处具有单侧极限性质，但未必连续。以下是其核心定义、性质及与连续函数的关系：

上半连续：设函数 ( f(x) ) 在区间 ([a,b]) 上有定义，若对任意点 ( x0 in [a,b] )，满足： [ limsup{x to x_0} f(x) leq f(x_0) ] 即用 (varepsilon)-(delta) 语言表述为：对任意 (varepsilon > 0)，存在 (delta > 0)，当 (|x - x_0| < delta) 时，( f(x) < f(x_0) + varepsilon )。
下半连续：若对任意点 ( x0 in [a,b] )，满足： [ liminf{x to x_0} f(x) geq f(x_0) ] 即对任意 (varepsilon > 0)，存在 (delta > 0)，当 (|x - x_0| < delta) 时，( f(x) > f(x_0) - varepsilon )。

充要条件：函数 ( f(x) ) 在一点连续，当且仅当它在该点同时上半连续和下半连续。
示例：分段函数如 ( f(x) = begin{cases} 1 & x=00 & x eq 0 end{cases} ) 在 ( x=0 ) 处上半连续但非下半连续。

半连续函数在优化理论、经济学模型及拓扑空间中均有重要应用。例如，在紧空间上，下半连续函数的最小值存在性常用于证明极值定理。

如需进一步了解半连续函数的运算规则或具体定理证明，可参考相关数学分析教材或文献（如、2、7）。