半連續函數英文解釋翻譯、半連續函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 semicontinuous function

half; in the middle; semi-
【計】 semi
【醫】 demi-; hemi-; semi-; semis; ss
【經】 quasi

【計】 continuous function

半連續函數（semi-continuous function）是實分析中描述函數局部性質的重要概念，分為上半連續（upper semi-continuous）和下半連續（lower semi-continuous）兩類。以下從定義、數學表達和應用場景三方面展開說明：

上半連續：若對任意點( x_0 )，函數( f(x) )在( x0 )處的上極限不超過其函數值，即 $$ limsup{x to x_0} f(x) leq f(x_0), $$ 則稱( f(x) )在( x_0 )處上半連續。
下半連續：若對任意點( x_0 )，函數( f(x) )在( x0 )處的下極限不低于其函數值，即 $$ liminf{x to x_0} f(x) geq f(x_0), $$ 則稱( f(x) )在( x_0 )處下半連續。

上半連續函數的例子包括階梯函數和分段常數函數。例如，定義在區間[0,1]上的函數( f(x) = begin{cases} 1 & x in mathbb{Q}0 & x otin mathbb{Q} end{cases} )是上半連續的。
下半連續函數的例子常見于凸函數，如( f(x) = |x| )在實數域上是下半連續的。

半連續性在優化理論、經濟學中的效用函數分析以及拓撲學中具有關鍵作用。例如，在極小化問題中，下半連續性可保證極值的存在性（參考《Convex Analysis》by R.T. Rockafellar。

半連續函數是數學分析中一類特殊的函數，它在每一點處具有單側極限性質，但未必連續。以下是其核心定義、性質及與連續函數的關系：

上半連續：設函數 ( f(x) ) 在區間 ([a,b]) 上有定義，若對任意點 ( x0 in [a,b] )，滿足： [ limsup{x to x_0} f(x) leq f(x_0) ] 即用 (varepsilon)-(delta) 語言表述為：對任意 (varepsilon > 0)，存在 (delta > 0)，當 (|x - x_0| < delta) 時，( f(x) < f(x_0) + varepsilon )。
下半連續：若對任意點 ( x0 in [a,b] )，滿足： [ liminf{x to x_0} f(x) geq f(x_0) ] 即對任意 (varepsilon > 0)，存在 (delta > 0)，當 (|x - x_0| < delta) 時，( f(x) > f(x_0) - varepsilon )。

充要條件：函數 ( f(x) ) 在一點連續，當且僅當它在該點同時上半連續和下半連續。
示例：分段函數如 ( f(x) = begin{cases} 1 & x=00 & x eq 0 end{cases} ) 在 ( x=0 ) 處上半連續但非下半連續。

半連續函數在優化理論、經濟學模型及拓撲空間中均有重要應用。例如，在緊空間上，下半連續函數的最小值存在性常用于證明極值定理。

如需進一步了解半連續函數的運算規則或具體定理證明，可參考相關數學分析教材或文獻（如、2、7）。