对偶变量英文解释翻译、对偶变量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 antithetic variables; dual variable

分词翻译：

对的英语翻译：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【计】 P
【化】 dyad
【医】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【经】 vs

偶的英语翻译：

by chance; even; idol; image; mate; spouse
【医】 pair

变量的英语翻译：

variable
【计】 V; variable
【化】 variable
【医】 variance

专业解析

在数学优化领域，对偶变量 (Dual Variable) 是伴随原始优化问题（称为原始问题）而产生的辅助变量。它们在对偶理论中扮演核心角色，用于构建原始问题的对偶问题。理解对偶变量对于分析优化问题的性质、求解效率以及获得经济学解释（如影子价格）至关重要。

1. 核心定义与数学表达

对偶变量通常与原始问题中的约束条件相关联。考虑一个标准形式的约束优化问题（原始问题）： $$ begin{align} min_{x} quad & f(x) text{s.t.} quad & g_i(x) leq 0, quad i = 1, ldots, m & h_j(x) = 0, quad j = 1, ldots, p end{align} $$ 其中 (x) 是决策变量，(f(x)) 是目标函数，(g_i(x)) 是不等式约束，(h_j(x)) 是等式约束。

与此原始问题对应的拉格朗日函数 (Lagrangian) 定义为： $$ L(x, lambda, u) = f(x) + sum_{i=1}^{m} lambda_i gi(x) + sum{j=1}^{p} u_j h_j(x) $$
对偶变量：
- (lambda_i)：对应于第 (i) 个不等式约束 (g_i(x) leq 0) 的对偶变量。通常要求 (lambda_i geq 0)。
- ( u_j)：对应于第 (j) 个等式约束 (h_j(x) = 0) 的对偶变量。( u_j) 可取任意实数（无符号限制）。这些变量 (lambda) 和 ( u) 就是对偶变量。

2. 解释与意义

拉格朗日乘子 (Lagrange Multipliers)：对偶变量在本质上就是拉格朗日乘子。它们被引入将约束优化问题转化为无约束问题（拉格朗日函数）进行求解。
敏感性/影子价格 (Shadow Prices)：这是对偶变量最重要的经济学和实际应用解释。在最优解处，对偶变量 (lambda_i^*) 的值表示：如果稍微放松第 (i) 个约束（即增大不等式约束的右端项），目标函数最优值能改善（对于最小化问题是减少）多少。
- 例如，在资源分配问题中，(lambda_i^*) 可能代表第 (i) 种资源的单位增量所能带来的额外收益（或成本节约），即该资源的“影子价格”。
最优性条件 (KKT Conditions)：在凸优化问题中，Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件是原始解和对偶解共同满足最优性的充要条件。这些条件明确包含了对偶变量及其与原始约束的关系（如互补松弛条件 (lambda_i^ g_i(x^) = 0)）。
对偶问题的构建：对偶变量是定义原始问题的对偶问题的关键。对偶问题通常是通过最小化拉格朗日函数关于原始变量 (x) 的下确界（infimum），再关于对偶变量 (lambda geq 0, u) 最大化来构建的： $$ max{lambda geq 0, u} theta(lambda, u) quad text{其中} quad theta(lambda, u) = inf{x} L(x, lambda, u) $$ 对偶问题的解提供了原始问题最优值的下界（对于最小化问题）。

3. 关键特性

非负性 (Non-negativity)：对应于不等式约束的对偶变量 (lambda_i) 通常有非负要求 ((lambda_i geq 0))。这反映了放松一个 (leq) 约束（增大可行域）不可能使最小化问题的目标值变差。
互补松弛 (Complementary Slackness)：在最优解 ((x^, lambda^)) 处，对于不等式约束，有 (lambda_i^ g_i(x^) = 0)。这意味着：
- 如果约束是紧的（binding, (g_i(x^) = 0)），则其对应的对偶变量 (lambda_i^) 可以大于零。
- 如果约束是非紧的（non-binding, (g_i(x^) < 0)），则其对应的对偶变量 (lambda_i^) 必须等于零。这个条件连接了原始约束的紧致性和对偶变量的取值。

4. 应用领域

对偶变量及其相关理论广泛应用于：

经济学：计算资源的影子价格，进行成本效益分析。
运筹学/管理科学：网络流问题、生产计划、资源分配中分析约束的边际价值。
机器学习：支持向量机 (SVM) 中，对偶变量对应支持向量，对偶问题形式往往更易求解；拉格朗日乘子法用于处理带约束的模型训练。
工程优化：结构设计、电路设计中分析设计约束的敏感性。
求解算法：许多优化算法（如某些内点法、次梯度法）会同时或交替更新原始变量和对偶变量。

权威参考资料

Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. (Chapter 5 - Duality). 经典凸优化教材，对偶理论讲解透彻。剑桥大学出版社 / 作者主页提供免费电子版
Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Springer. (Chapter 12, 16). 数值优化标准参考书，涵盖对偶理论和算法。 Springer
MIT OpenCourseWare - Linear Programming. MIT 提供的线性规划课程资料，清晰介绍对偶理论及影子价格。 MIT OCW
Wolfram MathWorld - Lagrange Multiplier. 权威数学百科全书条目，解释拉格朗日乘子（即对偶变量）的基础概念。 MathWorld
Stanford Engineering Everywhere - Convex Optimization I. Stephen Boyd 教授在斯坦福的公开课视频，深入浅出讲解对偶性。 SEE

网络扩展解释

对偶变量是数学优化理论中的核心概念，尤其在线性规划和凸优化中具有重要意义。它通过构建原始问题的对偶问题，揭示约束条件与目标函数之间的深层联系。以下是具体解释：

一、基本定义

对偶变量（Dual Variables）是原始优化问题的对偶形式中引入的变量，通常与原始问题的约束条件一一对应。例如：

原始问题：最大化目标函数 $c^T x$，受限于 $Ax leq b$，$x geq 0$。
对偶问题：最小化 $b^T y$，受限于 $A^T y geq c$，$y geq 0$。
这里的变量 $y$ 即为对偶变量，每个 $y_i$ 对应原始问题中第 $i$ 个约束条件。

二、核心意义

经济解释（影子价格）
对偶变量 $y_i$ 可理解为第 $i$ 种资源的边际价值，即增加一单位资源 $b_i$ 时目标函数值的最大提升量。例如，在生产计划中，$y_i$ 表示原材料 $i$ 的“影子价格”。
灵敏度分析
对偶变量反映原始问题参数（如 $b$）变化对最优解的影响，帮助评估解的鲁棒性。
最优性条件
在KKT条件中，对偶变量与原始变量共同满足互补松弛性：
$$y_i (b_i - A_i x) = 0$$
这表明，若原始约束非紧（$b_i - A_i x > 0$），则对应的对偶变量 $y_i=0$。

三、应用领域

运筹学：资源分配、成本最小化问题。
经济学：市场均衡分析中，对偶变量代表价格信号。
机器学习：支持向量机（SVM）通过对偶问题转化为高效求解形式。

四、对比原始变量

特征	原始变量	对偶变量
问题类型	直接优化目标函数	通过约束条件间接优化
物理意义	决策变量（如生产量）	约束的边际价值（如价格）
求解难度	高维度时复杂	可能更易求解或分析

五、示例说明

假设工厂生产两种产品，原始问题为最大化利润：

约束：原材料1消耗 ≤ 100吨，原材料2消耗 ≤ 200小时。
对偶变量 $y_1$ 和 $y_2$ 分别表示每增加1吨原材料1或1小时原材料2能带来的额外利润。

通过理解对偶变量，我们能从“资源定价”角度重新审视优化问题，为实际决策提供更丰富的洞察。