對偶變量英文解釋翻譯、對偶變量的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 antithetic variables; dual variable

分詞翻譯：

對的英語翻譯：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【計】 P
【化】 dyad
【醫】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【經】 vs

偶的英語翻譯：

by chance; even; idol; image; mate; spouse
【醫】 pair

變量的英語翻譯：

variable
【計】 V; variable
【化】 variable
【醫】 variance

專業解析

在數學優化領域，對偶變量 (Dual Variable) 是伴隨原始優化問題（稱為原始問題）而産生的輔助變量。它們在對偶理論中扮演核心角色，用于構建原始問題的對偶問題。理解對偶變量對于分析優化問題的性質、求解效率以及獲得經濟學解釋（如影子價格）至關重要。

1. 核心定義與數學表達

對偶變量通常與原始問題中的約束條件相關聯。考慮一個标準形式的約束優化問題（原始問題）： $$ begin{align} min_{x} quad & f(x) text{s.t.} quad & g_i(x) leq 0, quad i = 1, ldots, m & h_j(x) = 0, quad j = 1, ldots, p end{align} $$ 其中 (x) 是決策變量，(f(x)) 是目标函數，(g_i(x)) 是不等式約束，(h_j(x)) 是等式約束。

與此原始問題對應的拉格朗日函數 (Lagrangian) 定義為： $$ L(x, lambda, u) = f(x) + sum_{i=1}^{m} lambda_i gi(x) + sum{j=1}^{p} u_j h_j(x) $$
對偶變量：
- (lambda_i)：對應于第 (i) 個不等式約束 (g_i(x) leq 0) 的對偶變量。通常要求 (lambda_i geq 0)。
- ( u_j)：對應于第 (j) 個等式約束 (h_j(x) = 0) 的對偶變量。( u_j) 可取任意實數（無符號限制）。這些變量 (lambda) 和 ( u) 就是對偶變量。

2. 解釋與意義

拉格朗日乘子 (Lagrange Multipliers)：對偶變量在本質上就是拉格朗日乘子。它們被引入将約束優化問題轉化為無約束問題（拉格朗日函數）進行求解。
敏感性/影子價格 (Shadow Prices)：這是對偶變量最重要的經濟學和實際應用解釋。在最優解處，對偶變量 (lambda_i^*) 的值表示：如果稍微放松第 (i) 個約束（即增大不等式約束的右端項），目标函數最優值能改善（對于最小化問題是減少）多少。
- 例如，在資源分配問題中，(lambda_i^*) 可能代表第 (i) 種資源的單位增量所能帶來的額外收益（或成本節約），即該資源的“影子價格”。
最優性條件 (KKT Conditions)：在凸優化問題中，Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件是原始解和對偶解共同滿足最優性的充要條件。這些條件明确包含了對偶變量及其與原始約束的關系（如互補松弛條件 (lambda_i^ g_i(x^) = 0)）。
對偶問題的構建：對偶變量是定義原始問題的對偶問題的關鍵。對偶問題通常是通過最小化拉格朗日函數關于原始變量 (x) 的下确界（infimum），再關于對偶變量 (lambda geq 0, u) 最大化來構建的： $$ max{lambda geq 0, u} theta(lambda, u) quad text{其中} quad theta(lambda, u) = inf{x} L(x, lambda, u) $$ 對偶問題的解提供了原始問題最優值的下界（對于最小化問題）。

3. 關鍵特性

非負性 (Non-negativity)：對應于不等式約束的對偶變量 (lambda_i) 通常有非負要求 ((lambda_i geq 0))。這反映了放松一個 (leq) 約束（增大可行域）不可能使最小化問題的目标值變差。
互補松弛 (Complementary Slackness)：在最優解 ((x^, lambda^)) 處，對于不等式約束，有 (lambda_i^ g_i(x^) = 0)。這意味着：
- 如果約束是緊的（binding, (g_i(x^) = 0)），則其對應的對偶變量 (lambda_i^) 可以大于零。
- 如果約束是非緊的（non-binding, (g_i(x^) < 0)），則其對應的對偶變量 (lambda_i^) 必須等于零。這個條件連接了原始約束的緊緻性和對偶變量的取值。

4. 應用領域

對偶變量及其相關理論廣泛應用于：

經濟學：計算資源的影子價格，進行成本效益分析。
運籌學/管理科學：網絡流問題、生産計劃、資源分配中分析約束的邊際價值。
機器學習：支持向量機 (SVM) 中，對偶變量對應支持向量，對偶問題形式往往更易求解；拉格朗日乘子法用于處理帶約束的模型訓練。
工程優化：結構設計、電路設計中分析設計約束的敏感性。
求解算法：許多優化算法（如某些内點法、次梯度法）會同時或交替更新原始變量和對偶變量。

權威參考資料

Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. (Chapter 5 - Duality). 經典凸優化教材，對偶理論講解透徹。劍橋大學出版社 / 作者主頁提供免費電子版
Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Springer. (Chapter 12, 16). 數值優化标準參考書，涵蓋對偶理論和算法。 Springer
MIT OpenCourseWare - Linear Programming. MIT 提供的線性規劃課程資料，清晰介紹對偶理論及影子價格。 MIT OCW
Wolfram MathWorld - Lagrange Multiplier. 權威數學百科全書條目，解釋拉格朗日乘子（即對偶變量）的基礎概念。 MathWorld
Stanford Engineering Everywhere - Convex Optimization I. Stephen Boyd 教授在斯坦福的公開課視頻，深入淺出講解對偶性。 SEE

網絡擴展解釋

對偶變量是數學優化理論中的核心概念，尤其線上性規劃和凸優化中具有重要意義。它通過構建原始問題的對偶問題，揭示約束條件與目标函數之間的深層聯繫。以下是具體解釋：

一、基本定義

對偶變量（Dual Variables）是原始優化問題的對偶形式中引入的變量，通常與原始問題的約束條件一一對應。例如：

原始問題：最大化目标函數 $c^T x$，受限于 $Ax leq b$，$x geq 0$。
對偶問題：最小化 $b^T y$，受限于 $A^T y geq c$，$y geq 0$。
這裡的變量 $y$ 即為對偶變量，每個 $y_i$ 對應原始問題中第 $i$ 個約束條件。

二、核心意義

經濟解釋（影子價格）
對偶變量 $y_i$ 可理解為第 $i$ 種資源的邊際價值，即增加一單位資源 $b_i$ 時目标函數值的最大提升量。例如，在生産計劃中，$y_i$ 表示原材料 $i$ 的“影子價格”。
靈敏度分析
對偶變量反映原始問題參數（如 $b$）變化對最優解的影響，幫助評估解的魯棒性。
最優性條件
在KKT條件中，對偶變量與原始變量共同滿足互補松弛性：
$$y_i (b_i - A_i x) = 0$$
這表明，若原始約束非緊（$b_i - A_i x > 0$），則對應的對偶變量 $y_i=0$。

三、應用領域

運籌學：資源分配、成本最小化問題。
經濟學：市場均衡分析中，對偶變量代表價格信號。
機器學習：支持向量機（SVM）通過對偶問題轉化為高效求解形式。

四、對比原始變量

特征	原始變量	對偶變量
問題類型	直接優化目标函數	通過約束條件間接優化
物理意義	決策變量（如生産量）	約束的邊際價值（如價格）
求解難度	高維度時複雜	可能更易求解或分析

五、示例說明

假設工廠生産兩種産品，原始問題為最大化利潤：

約束：原材料1消耗 ≤ 100噸，原材料2消耗 ≤ 200小時。
對偶變量 $y_1$ 和 $y_2$ 分别表示每增加1噸原材料1或1小時原材料2能帶來的額外利潤。

通過理解對偶變量，我們能從“資源定價”角度重新審視優化問題，為實際決策提供更豐富的洞察。