可微分性英文解释翻译、可微分性的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 differentiability

分词翻译：

可的英语翻译：

approve; but; can; may; need; yet

微分的英语翻译：

【计】 differential calculus
【经】 differential

专业解析

在数学分析中，可微分性（Differentiability）是描述函数在某一点附近局部性质的核心概念。其汉英对照及详细解释如下：

一、基本定义

中文术语：可微分性
英文术语：Differentiability

指函数在某点处存在导数（Derivative），即函数在该点的变化率有明确定义。若函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 可微，则其导数 ( f'(x_0) ) 满足以下极限存在：

$$ f'(x0) = lim{{h to 0}} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 此定义要求函数在该点附近足够"光滑"，无突变或尖角。
几何意义
可微分意味着函数图像在 ( x_0 ) 处存在唯一切线（Tangent Line），且该切线是函数局部行为的线性近似。例如，( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 不可微，因其图像呈"尖点"状。

二、可微分性的严格条件

函数 ( f ) 在 ( x_0 ) 可微需满足：

连续性：可微必连续，反之不成立（如魏尔斯特拉斯函数处处连续但无处可微）。
左、右导数存在且相等：
$$ lim_{{h to 0^-}} frac{f(x_0 + h) - f(x0)}{h} = lim{{h to 0^+}} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 若左右导数不等（如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 )），则不可微。

三、多元函数的可微分性

对多元函数 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} )，可微性要求存在线性映射（雅可比矩阵）逼近函数变化：

$$ f(mathbf{x}) approx f(mathbf{x_0}) + abla f(mathbf{x_0}) cdot (mathbf{x} - mathbf{x_0}) $$ 其中 ( abla f ) 为梯度向量。若所有偏导数存在且连续，则函数可微（但偏导数存在不保证可微）。

四、应用与意义

优化理论：梯度下降法等依赖可微性寻找极值点。
物理建模：速度（位移导数）、加速度（速度导数）等概念以可微性为基础。
工程近似：泰勒展开（Taylor Expansion）利用高阶导数逼近复杂函数。

权威参考文献

《数学分析原理》（Walter Rudin）
定义导数与可微性的经典教材。

《微积分和数学分析引论》（Courant & John）
深入讨论可微性的几何与物理背景。

MIT OpenCourseWare: Multivariable Calculus
公开课视频与讲义（链接略，可通过MIT官网访问）。

注

可微分性（Differentiability）与可导性（Derivability）在实函数中常等价，但在高维空间有细微差异（如方向导数与全微分的区别）。

网络扩展解释

可微分性是数学分析中的核心概念，描述函数在某点或某区域是否具备"光滑变化"的特性。其核心内涵可通过以下维度理解：

一、数学定义

对于单变量函数$f(x)$，若在点$x_0$处存在极限： $$ f'(x0) = lim{h to 0} frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$ 则称$f$在$x_0$处可微。多变量函数$f: mathbb{R}^n to mathbb{R}$的可微性要求存在线性映射$J$使得： $$ f(mathbf{x}+mathbf{h}) - f(mathbf{x}) = Jmathbf{h} + o(|mathbf{h}|) $$ 此时$J$即雅可比矩阵。

二、几何特征

切线存在性：单变量可微函数图像无尖点或垂直切线
局部线性化：可用切平面/切线近似函数局部行为
光滑过渡：排除突变、折角等不连续变化

三、典型示例

可微函数	不可微点示例	原因分析
$f(x)=x$	$f(x)=	x
$f(x)=sin x$	$f(x)=x^{1/3}$在x=0	切线垂直（导数无穷大）
光滑曲面	圆锥顶点	存在尖点

四、重要性质

可微必连续，但连续未必可微（如魏尔斯特拉斯函数）
多变量函数需所有偏导数连续才保证可微（C¹类函数）
复变函数可微（解析）的要求比实函数更严格

五、应用领域

优化算法：梯度下降法依赖可微性求极值
物理建模：连续介质力学中的应变分析
机器学习：神经网络通过反向传播更新参数
经济预测：边际效应计算需要效用函数可微

当处理实际问题时，常通过分段定义、正则化方法或使用次梯度等手段处理不可微点。理解可微分性对把握现代科学计算与工程建模具有基础性意义。