可微分性英文解釋翻譯、可微分性的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 differentiability

分詞翻譯：

可的英語翻譯：

approve; but; can; may; need; yet

微分的英語翻譯：

【計】 differential calculus
【經】 differential

專業解析

在數學分析中，可微分性（Differentiability）是描述函數在某一點附近局部性質的核心概念。其漢英對照及詳細解釋如下：

一、基本定義

中文術語：可微分性
英文術語：Differentiability

指函數在某點處存在導數（Derivative），即函數在該點的變化率有明确定義。若函數 ( f(x) ) 在點 ( x_0 ) 可微，則其導數 ( f'(x_0) ) 滿足以下極限存在：

$$ f'(x0) = lim{{h to 0}} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 此定義要求函數在該點附近足夠"光滑"，無突變或尖角。
幾何意義
可微分意味着函數圖像在 ( x_0 ) 處存在唯一切線（Tangent Line），且該切線是函數局部行為的線性近似。例如，( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 不可微，因其圖像呈"尖點"狀。

二、可微分性的嚴格條件

函數 ( f ) 在 ( x_0 ) 可微需滿足：

連續性：可微必連續，反之不成立（如魏爾斯特拉斯函數處處連續但無處可微）。
左、右導數存在且相等：
$$ lim_{{h to 0^-}} frac{f(x_0 + h) - f(x0)}{h} = lim{{h to 0^+}} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 若左右導數不等（如 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 )），則不可微。

三、多元函數的可微分性

對多元函數 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} )，可微性要求存線上性映射（雅可比矩陣）逼近函數變化：

$$ f(mathbf{x}) approx f(mathbf{x_0}) + abla f(mathbf{x_0}) cdot (mathbf{x} - mathbf{x_0}) $$ 其中 ( abla f ) 為梯度向量。若所有偏導數存在且連續，則函數可微（但偏導數存在不保證可微）。

四、應用與意義

優化理論：梯度下降法等依賴可微性尋找極值點。
物理建模：速度（位移導數）、加速度（速度導數）等概念以可微性為基礎。
工程近似：泰勒展開（Taylor Expansion）利用高階導數逼近複雜函數。

權威參考文獻

《數學分析原理》（Walter Rudin）
定義導數與可微性的經典教材。

《微積分和數學分析引論》（Courant & John）
深入讨論可微性的幾何與物理背景。

MIT OpenCourseWare: Multivariable Calculus
公開課視頻與講義（鍊接略，可通過MIT官網訪問）。

注

可微分性（Differentiability）與可導性（Derivability）在實函數中常等價，但在高維空間有細微差異（如方向導數與全微分的區别）。

網絡擴展解釋

可微分性是數學分析中的核心概念，描述函數在某點或某區域是否具備"光滑變化"的特性。其核心内涵可通過以下維度理解：

一、數學定義

對于單變量函數$f(x)$，若在點$x_0$處存在極限： $$ f'(x0) = lim{h to 0} frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$ 則稱$f$在$x_0$處可微。多變量函數$f: mathbb{R}^n to mathbb{R}$的可微性要求存線上性映射$J$使得： $$ f(mathbf{x}+mathbf{h}) - f(mathbf{x}) = Jmathbf{h} + o(|mathbf{h}|) $$ 此時$J$即雅可比矩陣。

二、幾何特征

切線存在性：單變量可微函數圖像無尖點或垂直切線
局部線性化：可用切平面/切線近似函數局部行為
光滑過渡：排除突變、折角等不連續變化

三、典型示例

可微函數	不可微點示例	原因分析
$f(x)=x$	$f(x)=	x
$f(x)=sin x$	$f(x)=x^{1/3}$在x=0	切線垂直（導數無窮大）
光滑曲面	圓錐頂點	存在尖點

四、重要性質

可微必連續，但連續未必可微（如魏爾斯特拉斯函數）
多變量函數需所有偏導數連續才保證可微（C¹類函數）
複變函數可微（解析）的要求比實函數更嚴格

五、應用領域

優化算法：梯度下降法依賴可微性求極值
物理建模：連續介質力學中的應變分析
機器學習：神經網絡通過反向傳播更新參數
經濟預測：邊際效應計算需要效用函數可微

當處理實際問題時，常通過分段定義、正則化方法或使用次梯度等手段處理不可微點。理解可微分性對把握現代科學計算與工程建模具有基礎性意義。