【计】 associated Laguerre polynomial
连带拉盖尔多项式（Associated Laguerre Polynomials）是数学物理中一类重要的正交多项式，其英文术语直接对应中文翻译，广泛应用于量子力学、电磁场理论和辐射传热学等领域。该多项式由法国数学家埃德蒙·拉盖尔提出，是标准拉盖尔多项式的推广形式，通过引入额外参数实现更广泛的物理场景适配。
定义与数学表达式
连带拉盖尔多项式$L_n^{(alpha)}(x)$的显式表达式为： $$ Ln^{(alpha)}(x) = sum{k=0}^n (-1)^k frac{(n+alpha)!}{(n-k)!(k)!(alpha+k)!} x^k $$ 其中$alpha > -1$为实数参数，$n$为非负整数阶数。当$alpha=0$时退化为标准拉盖尔多项式。
核心特性
正交性：在区间$[0,+infty)$上关于权函数$x^alpha e^{-x}$满足正交关系： $$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{(n+alpha)!}{n!} delta{mn} $$ 这一性质使其成为量子力学氢原子径向波函数的基础。
微分方程：满足广义拉盖尔微分方程： $$ x y'' + (alpha +1 -x) y' + n y = 0 $$ 该方程在描述带电粒子在库仑场中的运动时具有关键作用。
物理应用
在量子力学中，$L_n^{(alpha)}(x)$直接构成氢原子电子轨道的径向部分解，参数$alpha$与轨道角动量量子数相关。电磁学领域则用于求解柱坐标系下的波动方程，例如光纤模式分析。
连带拉盖尔多项式（Associated Laguerre Polynomials）是数学和物理学中一类重要的正交多项式，广泛应用于量子力学、统计学等领域。以下从定义、性质及应用三个方面进行详细解释：
连带拉盖尔多项式是拉盖尔方程的解，其微分方程为： $$ xy'' + (alpha + 1 - x)y' + ny = 0 $$ 其中，$alpha$为实数参数，$n$为非负整数。当$alpha=0$时，方程的解退化为普通拉盖尔多项式$L_n(x)$。
其显式表达式可表示为： $$ Ln^{(alpha)}(x) = sum{i=0}^n (-1)^i binom{n+alpha}{n-i} frac{x^i}{i!} $$ 该表达式通过组合数和阶乘的求和形式定义，体现了多项式的正交性特点。
正交性
连带拉盖尔多项式在区间$[0, +infty)$上关于权函数$x^alpha e^{-x}$正交：
$$ int_0^infty x^alpha e^{-x} L_m^{(alpha)}(x) Ln^{(alpha)}(x) dx = frac{Gamma(n+alpha+1)}{n!} delta{mn} $$
其中$delta_{mn}$为克罗内克函数，$Gamma$为伽马函数。
递推关系
多项式满足递推公式：
$$ (n+1)L_{n+1}^{(alpha)}(x) = (2n + alpha + 1 - x)Ln^{(alpha)}(x) - (n+alpha)L{n-1}^{(alpha)}(x) $$
这一性质在数值计算中尤为重要。
微分方程关联性
多项式满足拉盖尔微分方程，可直接用于求解与二阶线性微分方程相关的物理问题。
量子力学中的氢原子模型
在求解氢原子径向波函数时，连带拉盖尔多项式用于描述电子轨道的径向部分。例如，波函数形式为：
$$ R{nl}(r) propto e^{-r/(na)} left( frac{2r}{na} right)^l L{n-l-1}^{2l+1} left( frac{2r}{na} right) $$
其中$n$和$l$分别为主量子数和角量子数。
统计学与概率论
在Gamma分布和泊松过程的分析中，这类多项式用于构建正交基底，简化概率密度函数的展开和计算。
当参数$alpha=0$时，连带拉盖尔多项式简化为普通拉盖尔多项式： $$ L_n(x) = L_n^{(0)}(x) $$ 例如：
连带拉盖尔多项式通过其正交性和微分方程特性，成为解决物理学、工程学中复杂问题的关键工具。如需进一步了解具体推导或应用案例，可参考量子力学教材或正交多项式理论专著。
波段选择器测试刺冬绿甙锻工偏瘫对溴磷对一种法律关系的承认反射误差分域供油船钩回发作过剩的雇请的强盗毫克横杆花露水假瘫甲野靛硷颈背面的井底流动压力泪腺神经连续纺丝皮板的瓶状心普雷迈尔磨羟氨基乙酸全部大写软紫草特戊基外胚层体型者为基础的阵列处理机