收敛矩阵英文解释翻译、收敛矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 convergent matrix

constringency; convergence; restrain oneself; weaken
【计】 converging
【化】 convergence
【医】 adstrictio; astriction; astringe; astringency; stypsis

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

在数学和工程领域，收敛矩阵（Convergent Matrix）是一个重要的概念，特指一类具有特定谱性质的方阵。其核心定义和性质如下：

数学定义
一个方阵 ( A in mathbb{C}^{n times n} ) 被称为收敛矩阵，当且仅当它的谱半径小于1。谱半径 (rho(A)) 定义为矩阵所有特征值 (lambdai) 的模的最大值：

$$ rho(A) = max { |lambda| : lambda text{ 是 } A text{ 的特征值} } < 1 $$ 该条件是矩阵幂序列趋于零矩阵的充要条件，即：

$$ lim{k to infty} A^k = mathbf{0} $$
性质与特征
- 幂衰减性：矩阵幂 ( A^k ) 的元素随 ( k ) 增大而指数衰减至零。
- Neumann级数收敛：若 (rho(A) < 1)，则矩阵 ( I - A ) 可逆，且其逆可表示为收敛级数：
  $$ (I - A)^{-1} = sum_{k=0}^{infty} A^k $$
- 稳定性关联：在动力系统分析中，收敛矩阵对应离散系统 (mathbf{x}_{k+1} = Amathbf{x}_k) 的渐近稳定性。
应用场景
- 迭代法求解线性方程组（如Jacobi、Gauss-Seidel法）：迭代矩阵的收敛性取决于其是否为收敛矩阵。
- 数值分析：矩阵序列的极限行为在数值算法稳定性中至关重要。
- 控制理论：系统状态转移矩阵的收敛性决定系统长期行为。

权威参考来源：

Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. （经典矩阵理论教材，第5章详述矩阵范数与谱半径）
Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. （第11章讨论迭代法与矩阵收敛性）
Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM. （第7.10节明确收敛矩阵定义及性质）

收敛矩阵是矩阵分析中的一个重要概念，其核心特征体现在矩阵幂序列的极限性质上。以下是详细解释：

定义若方阵( A )满足当幂次( k to infty )时，其幂序列( A^k )趋于零矩阵（即(lim_{k to infty} A^k = 0)），则称( A )为收敛矩阵。

核心判定条件根据收敛定理，矩阵( A )为收敛矩阵的充分必要条件是其谱半径( rho(A) < 1 )。谱半径定义为矩阵所有特征值的模的最大值，即： $$ rho(A) = max{ |lambda| mid lambda text{为}Atext{的特征值} } $$

补充说明

与矩阵范数的关系：若存在某种矩阵范数(| cdot |)使得(|A| < 1)，则( A )必为收敛矩阵。这是因为范数的次可乘性保证了(|A^k| leq |A|^k to 0)。
应用场景：该性质在数值分析、马尔可夫链稳态分析等领域有重要应用，例如迭代法的收敛性判断。

注意：谱半径条件为理论判据，实际计算中可能需要结合特征值分析或范数估计来验证。