收斂矩陣英文解釋翻譯、收斂矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 convergent matrix

constringency; convergence; restrain oneself; weaken
【計】 converging
【化】 convergence
【醫】 adstrictio; astriction; astringe; astringency; stypsis

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

在數學和工程領域，收斂矩陣（Convergent Matrix）是一個重要的概念，特指一類具有特定譜性質的方陣。其核心定義和性質如下：

數學定義
一個方陣 ( A in mathbb{C}^{n times n} ) 被稱為收斂矩陣，當且僅當它的譜半徑小于1。譜半徑 (rho(A)) 定義為矩陣所有特征值 (lambdai) 的模的最大值：

$$ rho(A) = max { |lambda| : lambda text{ 是 } A text{ 的特征值} } < 1 $$ 該條件是矩陣幂序列趨于零矩陣的充要條件，即：

$$ lim{k to infty} A^k = mathbf{0} $$
性質與特征
- 幂衰減性：矩陣幂 ( A^k ) 的元素隨 ( k ) 增大而指數衰減至零。
- Neumann級數收斂：若 (rho(A) < 1)，則矩陣 ( I - A ) 可逆，且其逆可表示為收斂級數：
  $$ (I - A)^{-1} = sum_{k=0}^{infty} A^k $$
- 穩定性關聯：在動力系統分析中，收斂矩陣對應離散系統 (mathbf{x}_{k+1} = Amathbf{x}_k) 的漸近穩定性。
應用場景
- 疊代法求解線性方程組（如Jacobi、Gauss-Seidel法）：疊代矩陣的收斂性取決于其是否為收斂矩陣。
- 數值分析：矩陣序列的極限行為在數值算法穩定性中至關重要。
- 控制理論：系統狀态轉移矩陣的收斂性決定系統長期行為。

權威參考來源：

Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. （經典矩陣理論教材，第5章詳述矩陣範數與譜半徑）
Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. （第11章讨論疊代法與矩陣收斂性）
Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM. （第7.10節明确收斂矩陣定義及性質）

收斂矩陣是矩陣分析中的一個重要概念，其核心特征體現在矩陣幂序列的極限性質上。以下是詳細解釋：

定義若方陣( A )滿足當幂次( k to infty )時，其幂序列( A^k )趨于零矩陣（即(lim_{k to infty} A^k = 0)），則稱( A )為收斂矩陣。

核心判定條件根據收斂定理，矩陣( A )為收斂矩陣的充分必要條件是其譜半徑( rho(A) < 1 )。譜半徑定義為矩陣所有特征值的模的最大值，即： $$ rho(A) = max{ |lambda| mid lambda text{為}Atext{的特征值} } $$

補充說明

與矩陣範數的關系：若存在某種矩陣範數(| cdot |)使得(|A| < 1)，則( A )必為收斂矩陣。這是因為範數的次可乘性保證了(|A^k| leq |A|^k to 0)。
應用場景：該性質在數值分析、馬爾可夫鍊穩态分析等領域有重要應用，例如疊代法的收斂性判斷。

注意：譜半徑條件為理論判據，實際計算中可能需要結合特征值分析或範數估計來驗證。