凸函数英文解释翻译、凸函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 convex function

分词翻译：

凸的英语翻译：

protruding
【医】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

凸函数（Convex Function）是数学优化和经济学中的核心概念，其汉英定义及性质可综合表述如下：

1. 定义与数学表达式

在中文语境中，凸函数指定义域为凸集且满足以下条件的实值函数：对于任意两点(x_1, x_2)和(lambda in )，有

$$ f(lambda x_1 + (1-lambda)x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_2) $$

英文对应术语为Convex Function，其定义强调函数图像上任意两点间的线段位于图像上方（来源：Wolfram MathWorld）。

2. 几何意义

凸函数的图像呈“碗状”向上弯曲，例如二次函数(f(x) = x)。其局部最小值即全局最小值，这一性质在优化问题中具有重要应用（来源：Springer Mathematics）。

3. 判定条件

一阶条件：若函数可微，则凸函数满足(f(y) geq f(x) + abla f(x)^T (y-x))。
二阶条件：若函数二阶可微，其Hessian矩阵需半正定（来源：Stanford University Convex Optimization）。

4. 应用领域

凸函数广泛应用于机器学习、金融风险分析和工程设计中。例如，支持向量机（SVM）的目标函数即为凸函数，保障了优化过程的全局收敛性（来源：MIT OpenCourseWare）。

参考文献

Wolfram MathWorld. Convex Function. https://mathworld.wolfram.com/ConvexFunction.html

Springer. Encyclopedia of Mathematics: Convex Functions. https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-3-642-27737-5_130-3

Boyd, S. & Vandenberghe, L. Convex Optimization. Stanford University. https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

MIT. Convex Functions in Machine Learning. https://ocw.mit.edu/courses/6-252j-nonlinear-programming-spring-2003/

网络扩展解释

凸函数是数学分析中一个重要的概念，尤其在优化理论和经济学领域有广泛应用。其核心特征可以通过几何和代数两种方式理解：

一、代数定义对于定义在凸集上的函数$f$，若对任意$x_1,x_2$和$lambda in $都满足： $$ f(lambda x_1 + (1-lambda)x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_2) $$ 则称$f$为凸函数。当不等式严格成立（除端点外）时，称为严格凸函数。

二、几何解释函数图像上任意两点的连线（弦）始终位于函数图像上方。例如抛物线$f(x)=x$就是典型的凸函数，连接其图像上任意两点的线段都在抛物线上方。

三、判定性质

导数判据：若$f$二阶可导，则$f''(x) geq 0$时函数为凸
切线性质：凸函数的切线总在图像下方
琴生不等式：对任意随机变量$X$，有$f(E[X]) leq E[f(X)]$

四、典型示例

线性函数：$f(x)=ax+b$（既是凸函数也是凹函数）
指数函数：$e^{ax}$在实数域上凸
范数函数：$||x||_p$在赋范空间中凸

五、应用价值在优化问题中，凸函数保证局部极小值即全局极小值，这一特性使凸优化问题具有可解性。机器学习中的损失函数、经济学中的效用函数常设计为凸函数以保证求解效率。