超越函数英文解释翻译、超越函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 transcendental function

分词翻译：

超越的英语翻译：

exceed; surmount; surpass; outdo; overpass; overstep; transcend
【法】 transgress

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

超越函数（Transcendental Function）的汉英词典释义与数学本质解析

在数学领域，超越函数（Transcendental Function）指无法通过有限次多项式方程（即代数方程）定义的函数。其英文术语由“transcendental”（超越的）与“function”（函数）构成，强调这类函数“超越”了代数运算的范畴。

核心定义与特征

非代数性
超越函数不是代数函数，即不存在满足以下形式的非零多项式 ( P )：

$$ P(x, y) = 0 $$

其中 ( y ) 是函数值。例如，指数函数 ( e^x ) 和正弦函数 ( sin x ) 均无法表示为 ( x ) 的多项式组合，故属于超越函数。
与初等函数的关系
初等函数包含代数函数（如 ( f(x) = sqrt{x} )）和超越函数（如 ( ln x, cos x )）。超越函数是初等函数的子集，但需通过无穷级数、积分等非代数运算定义。

典型超越函数示例

指数与对数函数： ( e^x )、( a^x )（( a > 0 )）、( ln x )、( log_b x )；
三角函数与反三角函数： ( sin x )、( cos x )、( arcsin x )、( arccos x )；
特殊函数：伽马函数 ( Gamma(x) )、黎曼ζ函数 ( zeta(s) ) 等。

权威参考来源

《数学分析导论》（Introduction to Mathematical Analysis）
明确区分代数函数与超越函数，强调后者需借助极限或超越方程定义（来源：Springer数学教材系列）。

《普林斯顿数学百科全书》（The Princeton Companion to Mathematics）
指出超越函数在微分方程、数论中的核心地位，如指数函数是微分方程 ( y' = y ) 的解（来源：普林斯顿大学出版社）。

欧拉公式（Euler's Formula）
经典超越性体现： ( e^{itheta} = cos theta + i sin theta ) 关联指数与三角函数（来源：《数学物理方法》教科书）。

术语辨析

汉英对照：
- 超越函数 → Transcendental Function
- 代数函数 → Algebraic Function
- 初等函数 → Elementary Function
词源：“Transcendental”源于拉丁语 transcendere（意为“越过”），反映其超越代数表达的特性。

应用意义

超越函数在物理学（振动方程 ( y'' + ky = 0 ) 的解为 ( sin kx )）、工程学（电路暂态分析涉及 ( e^{-t/tau} )）及密码学（离散对数问题）中不可或缺，凸显其跨学科价值。

网络扩展解释

超越函数是数学中一类无法通过有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）表示的函数。其核心特征是变量间的关系超越了多项式方程的约束，即不满足以变量自身多项式为系数的方程。以下是详细解释：

1.定义与特征

代数独立性：超越函数与代数函数相对，不能表示为自变量与常数之间的有限次代数运算组合。
典型例子：如指数函数（$e^x$）、对数函数（$ln x$）、三角函数（$sin x$、$cos x$）及反三角函数（$arctan x$）等。

2.与代数函数的区别

代数函数：可通过多项式方程定义，例如多项式函数（$y=x$）和平方根函数（$y=sqrt{x}$）。
超越函数：如 $y=e^x$，无法通过代数方程描述，需借助微积分或级数等更复杂的工具研究。

3.常见应用领域

数学分析：超越函数在积分（如对数函数由积分$int frac{1}{x} dx$定义）和微分方程中具有重要作用。
物理与工程：三角函数用于描述波动和振动，指数函数用于建模增长与衰减过程。
数论与密码学：超越数的研究（如$pi$和$e$）与超越函数密切相关。

4.研究意义

超越函数的不可代数表达性使其成为解决复杂数学问题的关键工具，例如非线性方程和混沌系统的分析。

如需进一步了解具体函数性质或解题技巧，可参考数学分析教材或专业文献。