凸函數英文解釋翻譯、凸函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 convex function

分詞翻譯：

凸的英語翻譯：

protruding
【醫】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

凸函數（Convex Function）是數學優化和經濟學中的核心概念，其漢英定義及性質可綜合表述如下：

1. 定義與數學表達式

在中文語境中，凸函數指定義域為凸集且滿足以下條件的實值函數：對于任意兩點(x_1, x_2)和(lambda in )，有

$$ f(lambda x_1 + (1-lambda)x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_2) $$

英文對應術語為Convex Function，其定義強調函數圖像上任意兩點間的線段位于圖像上方（來源：Wolfram MathWorld）。

2. 幾何意義

凸函數的圖像呈“碗狀”向上彎曲，例如二次函數(f(x) = x)。其局部最小值即全局最小值，這一性質在優化問題中具有重要應用（來源：Springer Mathematics）。

3. 判定條件

一階條件：若函數可微，則凸函數滿足(f(y) geq f(x) + abla f(x)^T (y-x))。
二階條件：若函數二階可微，其Hessian矩陣需半正定（來源：Stanford University Convex Optimization）。

4. 應用領域

凸函數廣泛應用于機器學習、金融風險分析和工程設計中。例如，支持向量機（SVM）的目标函數即為凸函數，保障了優化過程的全局收斂性（來源：MIT OpenCourseWare）。

參考文獻

Wolfram MathWorld. Convex Function. https://mathworld.wolfram.com/ConvexFunction.html

Springer. Encyclopedia of Mathematics: Convex Functions. https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-3-642-27737-5_130-3

Boyd, S. & Vandenberghe, L. Convex Optimization. Stanford University. https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

MIT. Convex Functions in Machine Learning. https://ocw.mit.edu/courses/6-252j-nonlinear-programming-spring-2003/

網絡擴展解釋

凸函數是數學分析中一個重要的概念，尤其在優化理論和經濟學領域有廣泛應用。其核心特征可以通過幾何和代數兩種方式理解：

一、代數定義對于定義在凸集上的函數$f$，若對任意$x_1,x_2$和$lambda in $都滿足： $$ f(lambda x_1 + (1-lambda)x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_2) $$ 則稱$f$為凸函數。當不等式嚴格成立（除端點外）時，稱為嚴格凸函數。

二、幾何解釋函數圖像上任意兩點的連線（弦）始終位于函數圖像上方。例如抛物線$f(x)=x$就是典型的凸函數，連接其圖像上任意兩點的線段都在抛物線上方。

三、判定性質

導數判據：若$f$二階可導，則$f''(x) geq 0$時函數為凸
切線性質：凸函數的切線總在圖像下方
琴生不等式：對任意隨機變量$X$，有$f(E[X]) leq E[f(X)]$

四、典型示例

線性函數：$f(x)=ax+b$（既是凸函數也是凹函數）
指數函數：$e^{ax}$在實數域上凸
範數函數：$||x||_p$在賦範空間中凸

五、應用價值在優化問題中，凸函數保證局部極小值即全局極小值，這一特性使凸優化問題具有可解性。機器學習中的損失函數、經濟學中的效用函數常設計為凸函數以保證求解效率。