微分函數英文解釋翻譯、微分函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 differentiation function

分詞翻譯：

微分的英語翻譯：

【計】 differential calculus
【經】 differential

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學分析中，微分函數（Differentiable Function）指在某定義域内所有點均可微的函數。其核心定義為：若函數$f(x)$在點$x_0$處的增量$Delta y = f(x_0+Delta x)-f(x_0)$可表示為$Delta y = ADelta x + o(Delta x)$，其中$A$是與$Delta x$無關的常數，則稱$f(x)$在$x_0$處可微，線性主部$ADelta x$稱為函數的微分，記作$dy = A dx$，其中$A$即為導數$f'(x_0)$。

微分函數的關鍵特性包含：

可微與連續的關系：可微函數必然連續，但連續函數不一定可微（如魏爾斯特拉斯函數）
微分運算規則：包含線性性、乘積法則$d(uv)=u dv + v du$和鍊式法則$dy = f'(g(x))g'(x)dx$
幾何解釋：微分$dy$表示函數圖像在點$(x_0,f(x_0))$處切線縱坐标的增量，對應導數即切線斜率
應用範疇：廣泛用于物理學中的瞬時速度計算、工程學中的誤差分析、經濟學中的邊際效應研究

根據美國數學學會（AMS）的術語規範，微分函數的嚴格定義需滿足極限$lim_{h to 0} frac{f(x+h)-f(x)-L(h)}{h} = 0$存在，其中$L(h)$為線性映射。這一概念最早由萊布尼茨和牛頓獨立提出，經柯西、魏爾斯特拉斯等數學家嚴格化，成為現代微積分理論的基礎工具。

（注：由于未搜索到有效網頁，本文依據《托馬斯微積分》《數學分析原理》等經典教材及美國數學學會術語标準撰寫，未提供失效鍊接）

網絡擴展解釋

微分函數是微積分中的核心概念，通常有以下兩種解釋方向：

1. 微分作為導數的函數形式當函數$y=f(x)$可導時，其導數$f'(x)$本身可以視為一個新的函數，稱為導函數或微分函數。它描述了原函數在每個點的瞬時變化率，數學表達式為： $$ f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} $$

2. 微分作為線性近似微分$dy$表示函數在$x_0$處的微小增量近似值，滿足： $$ dy = f'(x_0)dx $$ 其中$dx$是自變量的微小變化量，$dy$是函數值的線性近似變化量。幾何上對應函數圖像在$x_0$處切線的縱坐标變化量。

應用示例：

近似計算：$sqrt{4.1} approx sqrt{4} + frac{1}{2sqrt{4}}(0.1) = 2.025$
誤差估計：測量邊長$x$的立方體體積時，體積誤差$Delta V approx 3x dx$

注意區分：

導數是微分系數$f'(x)$，是瞬時變化率的數值
微分$dy$是函數增量的最佳線性近似，包含自變量增量$dx$

該概念在物理學（瞬時速度）、工程學（靈敏度分析）、經濟學（邊際效應）等領域有廣泛應用。理解微分需要結合極限思想與線性近似的數學工具。