傅裡葉積分英文解釋翻譯、傅裡葉積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Fourier integral

分詞翻譯：

裡的英語翻譯：

inner; liner; lining; neighbourhood
【法】 knot; sea mile

葉的英語翻譯：

leaf; foliage; frondage; part of a historical period
【醫】 foil; Fol.; folia; folium; frond; leaf; lobe; lobi; lobus; petalo-
phyllo-

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

傅裡葉積分（Fourier Integral）是傅裡葉變換在非周期函數上的推廣形式，用于将任意函數分解為連續頻率的正弦波和餘弦波的疊加。其數學定義為： $$ F(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dt $$ 其中$f(t)$為時域函數，$F(omega)$為頻域表示，$omega$為角頻率。

核心特點與應用方向

工程與物理意義
傅裡葉積分在信號處理中用于分析非周期性信號的頻譜特性，例如雷達脈沖波形分析。在熱傳導方程和波動方程求解中，它是分離變量法的理論基礎。
與傅裡葉變換的關系
當函數$f(t)$滿足絕對可積條件（$int_{-infty}^{infty} |f(t)| dt < infty$）時，傅裡葉積分收斂為傅裡葉變換；對于周期函數則退化為傅裡葉級數。
數學表達變體
工程領域常采用對稱形式： $$ f(t) = frac{1}{2pi} int_{-infty}^{infty} F(omega) e^{iomega t} domega $$ 此公式實現了從頻域到時域的重構。

權威參考文獻

Arfken, G.B. 的《Mathematical Methods for Physicists》第七章詳細論述了其收斂條件
MIT OpenCourseWare 的工程數學講義提供了熱傳導方程的應用案例
Weisstein, E.W. 在MathWorld中對傅裡葉積分定理進行了嚴格證明

網絡擴展解釋

傅裡葉積分是傅裡葉變換的核心數學工具，用于将非周期函數分解為連續頻率的正弦和餘弦分量的疊加。它是傅裡葉級數在非周期函數上的推廣，主要應用于信號處理、物理學和工程學等領域。

1.基本定義

傅裡葉積分将函數 ( f(t) ) 表示為頻率域上的積分形式： $$ f(t) = frac{1}{2pi} int{-infty}^{infty} F(omega) e^{iomega t} domega $$ 其中，( F(omega) ) 是傅裡葉變換後的頻域函數，定義為： $$ F(omega) = int{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dt $$ 這兩個公式分别稱為傅裡葉逆變換和傅裡葉正變換。

2.物理意義

時域到頻域的轉換：通過積分将時間信號 ( f(t) ) 轉換為頻率分量 ( F(omega) )，揭示信號的頻率組成。
非周期函數的處理：與傅裡葉級數（僅適用于周期函數）不同，傅裡葉積分可分析任意非周期函數（如脈沖信號）。

3.收斂條件

傅裡葉積分存在的條件是函數 ( f(t) ) 滿足絕對可積： $$ int_{-infty}^{infty} |f(t)| dt < infty $$ 或滿足Dirichlet條件（分段光滑、有限個極值點等）。

4.應用領域

信號分析：提取信號的頻譜（如音頻處理）。
微分方程求解：将偏微分方程轉換為頻域的代數方程。
量子力學：波函數的頻域表示。

5.示例

以矩形脈沖函數 ( f(t) = begin{cases} 1, & |t| leq T0, & |t| > T end{cases} ) 為例，其傅裡葉變換為： $$ F(omega) = frac{2sin(omega T)}{omega} $$ 表明其頻譜能量集中在低頻區域。

傅裡葉積分通過連續頻率分量的疊加描述非周期函數，是連接時域與頻域的重要橋梁。其數學形式簡潔，但需注意收斂條件以保證變換有效性。