基向量英文解釋翻譯、基向量的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 base vector

分詞翻譯：

基的英語翻譯：

base; basic; foundation; key; primary; radix
【化】 group; radical
【醫】 base; basement; group; radical

向量的英語翻譯：

vector
【計】 V; vector quantity
【醫】 vector; vector quantity

專業解析

在數學和物理學中，基向量（Basis Vectors）是線性代數中的核心概念，指線上性空間中構成坐标系基礎的一組線性無關向量。以下是詳細解釋：

一、定義與核心特性

數學定義
設 ( V ) 是數域 ( mathbb{R} ) 或 ( mathbb{C} ) 上的線性空間，若向量組 ( {mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, dots, mathbf{e}_n} ) 滿足：
- 線性無關性：方程 ( c_1mathbf{e}_1 + c_2mathbf{e}_2 + dots + c_nmathbf{e}_n = mathbf{0} ) 的唯一解為 ( c_1 = c_2 = dots = c_n = 0 )；
- 生成整個空間：( V ) 中任意向量 ( mathbf{v} ) 可表示為 ( mathbf{v} = a_1mathbf{e}_1 + a_2mathbf{e}_2 + dots + a_nmathbf{e}_n )（( a_i ) 為标量）。
  則稱 ( {mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, dots, mathbf{e}_n} ) 是 ( V ) 的一組基，每個 ( mathbf{e}_i ) 稱為基向量。
關鍵性質
- 維度關聯：基向量的數量等于空間的維度（如三維空間需三個基向量）。
- 坐标系基礎：基向量定義了空間的坐标系，例如笛卡爾坐标系的标準基 ( hat{mathbf{i}} = (1,0,0) ), ( hat{mathbf{j}} = (0,1,0) ), ( hat{mathbf{k}} = (0,0,1) )。
- 唯一表示：空間中每個向量在給定基下對應唯一的坐标組合。

二、應用場景

幾何與物理
用于描述物體位置、速度等物理量（如三維空間中力分解為 ( F_xhat{mathbf{i}} + F_yhat{mathbf{j}} + F_zhat{mathbf{k}} )）。

數據科學
在機器學習中，基向量可構建特征空間的主成分（PCA降維技術依賴基變換）。

計算機圖形學
定義局部坐标系（如物體旋轉時需更新基向量）。

三、中英術語對照

中文	英文
基向量	Basis Vector
線性無關	Linearly Independent
生成空間	Span the Space
标準正交基	Orthonormal Basis

參考文獻

《線性代數及其應用》（高等教育出版社）
定義與性質解析：高等教育出版社數學教材庫

MIT線性代數公開課（Gilbert Strang）
基向量應用實例：MIT OpenCourseWare

Wolfram MathWorld
數學詞條權威解釋：Basis Vector Definition

網絡擴展解釋

基向量是線性代數中描述向量空間的基礎工具，以下是綜合多來源信息的詳細解釋：

一、定義

基向量是向量空間中一組線性無關且能線性生成整個空間的向量集合中的元素。例如在三維空間中，标準基向量為： $$ vec{e}_x = begin{pmatrix}100end{pmatrix},quad vec{e}_y = begin{pmatrix}010end{pmatrix},quad vec{e}_z = begin{pmatrix}001end{pmatrix} $$

二、核心性質

線性無關：基向量之間無法通過線性組合相互表示。
生成空間：空間中任意向量可唯一表示為基向量的線性組合。例如$vec{v}=avec{e}_x + bvec{e}_y + cvec{e}_z$。
維數對應：基向量的數量決定了向量空間的維度（如三維空間有3個基向量）。

三、其他特性

非唯一性：同一空間可存在多組不同的基向量，例如二維空間中${(1,0),(0,1)}$和${(1,1),(1,-1)}$均可作為基。
單位化常見選擇：實際應用中常将基向量單位化（如标準正交基）以簡化計算。

四、擴展概念

正交基：基向量兩兩正交（如标準基），可通過施密特正交化方法構造。
無限維空間：某些空間存在無限個基向量（如多項式空間）。

提示：基向量概念是理解線性變換、矩陣運算的基礎，例如線性變換對基向量的作用可推廣至整個空間。