複數平面英文解釋翻譯、複數平面的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 complex plane

分詞翻譯：

複數的英語翻譯：

complex number; plural; pluralism; plurality
【計】 complex number
【經】 complex number

平面的英語翻譯：

flat; plane; surface
【醫】 flat; plane; planum

專業解析

複數平面（Complex Plane），又稱複平面或高斯平面（Gaussian Plane），是用于幾何化表示複數的二維坐标系。其核心定義為：将複數( z = a + bi )映射到平面直角坐标系中的點((a, b))，其中橫軸為實軸（Real Axis），縱軸為虛軸（Imaginary Axis）。該模型由數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯于19世紀系統化推廣，因此得名。

結構與術語

坐标系構成
複數平面中，每個複數對應唯一坐标點，實部( a )決定橫向位置，虛部( b )決定縱向位置。例如，複數( 3+4i )對應點((3,4))。
極坐标表示
複數還可通過模長( r = sqrt{a + b} )和輻角( theta = arctan(b/a) )表示為( z = r(costheta + isintheta) )，此形式在信號分析和量子力學中有重要應用。

應用領域

電氣工程：用于分析交流電路中的阻抗與相位差（參考：麻省理工學院《電路與系統》課程資料）。
流體力學：複數勢函數可描述二維不可壓縮流體的流動特性（參考：劍橋大學《應用數學導論》）。

數學意義

複數平面将抽象代數運算轉化為幾何操作。例如，複數加法對應向量平移，乘法對應旋轉與縮放。這一性質為分形理論（如曼德博集合）和複變函數提供了直觀分析工具。

網絡擴展解釋

複數平面（又稱複平面或高斯平面）是用于表示複數的幾何模型。以下從數學角度詳細解釋其核心概念：

基本定義複數平面是一個二維直角坐标系：

橫軸（實軸）：表示複數的實部
縱軸（虛軸）：表示複數的虛部每個複數 ( z = a + bi ) 對應平面上的點 ((a,b))，其中 ( a,b in mathbb{R} )，( i ) 是虛數單位滿足 ( i = -1 )。

幾何表示複數可視為從原點指向點 ((a,b)) 的向量：

模長：向量長度 ( |z| = sqrt{a + b} )
輻角：向量與實軸正方向的夾角 ( theta = arg(z) )，滿足 ( tantheta = b/a )（需考慮象限）

極坐标形式複數可表示為 ( z = r(costheta + isintheta) ) 或 ( z = re^{itheta} )（歐拉公式）：

( r = |z| ) 為模長
( theta ) 為輻角，體現向量方向

運算的幾何意義

加法：向量合成（平行四邊形法則）
乘法：模長相乘，輻角相加（旋轉縮放）
共轭：( overline{z} = a - bi )，對應實軸對稱點

應用領域複數平面為複數運算提供直觀幾何解釋，廣泛應用于：

電路分析（交流電相位）
信號處理（傅裡葉變換）
量子力學（波函數描述）
流體力學（勢流場分析）

該模型由卡斯帕爾·韋塞爾（1797）、高斯（1831）等人逐步完善，現已成為複變函數理論的基礎工具。