反同構英文解釋翻譯、反同構的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 anti-isomorphism

分詞翻譯：

反的英語翻譯：

in reverse; on the contrary; turn over
【醫】 contra-; re-; trans-

同的英語翻譯：

alike; be the same as; in common; same; together
【醫】 con-; homo-

構的英語翻譯：

compose; construct; fabricate; form; make up
【機】 groove

專業解析

在數學（特别是抽象代數和範疇論）中，“反同構”（英文：anti-isomorphism）描述的是兩個代數結構（如群、環、模）之間一種特殊的、保持結構但反轉運算順序的關系。以下是其詳細解釋：

定義 (Definition)

設 $(R, +, cdot)$ 和 $(S, +, star)$ 是兩個同類型的代數結構（例如都是環）。一個映射 $phi: R to S$ 稱為從 $R$ 到 $S$ 的反同構，如果它滿足以下條件：

雙射 (Bijective)： $phi$ 是一個雙射函數（一一對應且映上）。
運算順序反轉 (Order-Reversing for Multiplication)：對 $R$ 中所有的元素 $a, b$，有： $$phi(a cdot b) = phi(b) star phi(a)$$ 注意乘法運算的順序被颠倒了：$a cdot b$ 的像等于 $b$ 的像 $star$ $a$ 的像。
加法同态 (Additive Homomorphism)：（如果結構包含加法）對 $R$ 中所有的元素 $a, b$，有： $$phi(a + b) = phi(a) + phi(b)$$ 加法運算的順序被保持。

核心特征與解釋

結構保持但順序反轉：反同構的核心在于它“幾乎”是一個同構（isomorphism）。同構要求 $phi(a cdot b) = phi(a) star phi(b)$，即保持乘法運算的順序。反同構則要求 $phi(a cdot b) = phi(b) star phi(a)$，即反轉了乘法運算的順序。它仍然完全“知道”兩個結構之間的元素如何對應以及運算結果如何對應，隻是乘法的順序被鏡像翻轉了。加法運算（如果存在）則被同态地保持。
逆映射也是反同構：如果一個映射 $phi: R to S$ 是反同構，那麼它的逆映射 $phi^{-1}: S to R$ 也是一個反同構。這反映了兩個結構通過反同構建立的對稱關系。
反自同構 (Anti-automorphism)：當 $R = S$ 時，即映射發生在同一個結構上，反同構 $phi: R to R$ 被稱為該結構的一個反自同構。一個經典的例子是矩陣環上的轉置運算：對于矩陣環 $M_n(F)$（$n$階方陣環），映射 $A mapsto A^T$（轉置）滿足 $(AB)^T = B^T A^T$，因此是一個反自同構。
與同構的關系：反同構不是同構（除非結構是交換的）。然而，如果存在一個反同構 $phi: R to S$，那麼 $R$ 和 $S$ 在某種意義上是“相似”的，隻是乘法表被“轉置”了。通過複合一個反自同構（例如 $R$ 上的某個固定反自同構），有時可以将反同構轉化為同構。

漢英詞典視角 (Chinese-English Dictionary Perspective)

反同構 (fǎn tónggòu)： Anti-isomorphism.
定義：兩個代數結構之間的一種雙射映射，它保持加法運算（如果存在）但反轉乘法運算的順序。
核心特征：結構保持性、雙射性、乘法順序反轉。
相關術語：
- 同構 (Isomorphism / tónggòu)：保持所有運算順序的雙射映射。
- 反自同構 (Anti-automorphism / fǎn zì tónggòu)：一個代數結構到自身的反同構。
- 對合 (Involution / duìhé)：滿足 $phi(phi(x)) = x$ 的反自同構（例如複共轭、矩陣轉置）。

權威參考來源 (Authoritative References)

《數學百科全書》 (Encyclopedia of Mathematics) - Springer: 提供了關于“Anti-isomorphism”的準确定義和基本性質描述。該條目由專業數學家撰寫并經過同行評審，是數學領域的核心參考資源之一。 (來源: Encyclopedia of Mathematics, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Anti-isomorphism)
Richard S. Pierce - 《關聯代數》 (Associative Algebras): 這本經典的代數研究生教材在讨論環和代數的結構時，清晰定義了反同構和反自同構，并給出了矩陣轉置作為關鍵例子。 (來源: Pierce, Richard S. Associative Algebras. Springer-Verlag, 1982. Chapter 1, §1)
《斯坦福哲學百科全書》 (Stanford Encyclopedia of Philosophy) - 結構主義條目：雖然主要關注哲學，但在讨論數學結構的等價性時，會提及同構作為标準，并隱含地指出反同構提供了另一種（通過順序反轉）建立結構等價的方式，體現了數學概念的嚴謹性。 (來源: Stanford Encyclopedia of Philosophy, Structuralism in Mathematics, https://plato.stanford.edu/entries/structuralism-mathematics/)

總結

反同構是連接兩個代數結構的強力紐帶，它在保持加法結構和元素間一一對應關系的同時，精确地反轉了乘法運算的順序。理解反同構及其特例反自同構（如矩陣轉置），對于深入把握非交換代數結構（如矩陣代數、某些群和環）的對稱性和内在性質至關重要。

網絡擴展解釋

反同構（anti-isomorphism）是數學中群論領域的重要概念，主要用于描述兩個代數結構之間的一種特殊關系。以下從定義、性質和應用三方面進行解釋：

一、定義

反同構是指兩個群（或其他代數結構）之間存在的一一映射$f: G rightarrow G'$，滿足對任意$a,b in G$，都有： $$ f(a cdot b) = f(b) circ f(a) $$ 這裡$cdot$是原群$G$的運算，$circ$是目标群$G'$的運算。與普通同構不同，反同構的映射會反轉運算順序。例如在普通同構中$f(ab)=f(a)f(b)$，而反同構表現為$f(ab)=f(b)f(a)$。

二、核心性質

運算保序性反轉：若原群滿足結合律，則反同構映射後目标群仍保持結合律，但元素運算順序被颠倒。
雙射特性：作為一一映射，反同構既單射（injective）又滿射（surjective）。
自反同構：當$G'=G$時，稱為反自同構，典型例子是矩陣轉置運算$A rightarrow A^T$，滿足$(AB)^T = B^T A^T$。

三、應用領域

抽象代數：研究群、環、模等結構的對稱性。
量子力學：在算子代數中描述時間反演對稱性。
密碼學：構造非交換群上的加密協議時可能涉及反同構性質。

對比說明

特性	同構	反同構
運算順序	保持順序$f(ab)=f(a)f(b)$	反轉順序$f(ab)=f(b)f(a)$
映射類型	雙射	雙射
常見實例	複數共轭運算	矩陣轉置運算

注：需注意與視覺藝術中的“同構現象”區分，後者指圖形元素的共用關系，屬于完全不同的學科概念。