反同构英文解释翻译、反同构的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 anti-isomorphism

分词翻译：

反的英语翻译：

in reverse; on the contrary; turn over
【医】 contra-; re-; trans-

同的英语翻译：

alike; be the same as; in common; same; together
【医】 con-; homo-

构的英语翻译：

compose; construct; fabricate; form; make up
【机】 groove

专业解析

在数学（特别是抽象代数和范畴论）中，“反同构”（英文：anti-isomorphism）描述的是两个代数结构（如群、环、模）之间一种特殊的、保持结构但反转运算顺序的关系。以下是其详细解释：

定义 (Definition)

设 $(R, +, cdot)$ 和 $(S, +, star)$ 是两个同类型的代数结构（例如都是环）。一个映射 $phi: R to S$ 称为从 $R$ 到 $S$ 的反同构，如果它满足以下条件：

双射 (Bijective)： $phi$ 是一个双射函数（一一对应且映上）。
运算顺序反转 (Order-Reversing for Multiplication)：对 $R$ 中所有的元素 $a, b$，有： $$phi(a cdot b) = phi(b) star phi(a)$$ 注意乘法运算的顺序被颠倒了：$a cdot b$ 的像等于 $b$ 的像 $star$ $a$ 的像。
加法同态 (Additive Homomorphism)：（如果结构包含加法）对 $R$ 中所有的元素 $a, b$，有： $$phi(a + b) = phi(a) + phi(b)$$ 加法运算的顺序被保持。

核心特征与解释

结构保持但顺序反转：反同构的核心在于它“几乎”是一个同构（isomorphism）。同构要求 $phi(a cdot b) = phi(a) star phi(b)$，即保持乘法运算的顺序。反同构则要求 $phi(a cdot b) = phi(b) star phi(a)$，即反转了乘法运算的顺序。它仍然完全“知道”两个结构之间的元素如何对应以及运算结果如何对应，只是乘法的顺序被镜像翻转了。加法运算（如果存在）则被同态地保持。
逆映射也是反同构：如果一个映射 $phi: R to S$ 是反同构，那么它的逆映射 $phi^{-1}: S to R$ 也是一个反同构。这反映了两个结构通过反同构建立的对称关系。
反自同构 (Anti-automorphism)：当 $R = S$ 时，即映射发生在同一个结构上，反同构 $phi: R to R$ 被称为该结构的一个反自同构。一个经典的例子是矩阵环上的转置运算：对于矩阵环 $M_n(F)$（$n$阶方阵环），映射 $A mapsto A^T$（转置）满足 $(AB)^T = B^T A^T$，因此是一个反自同构。
与同构的关系：反同构不是同构（除非结构是交换的）。然而，如果存在一个反同构 $phi: R to S$，那么 $R$ 和 $S$ 在某种意义上是“相似”的，只是乘法表被“转置”了。通过复合一个反自同构（例如 $R$ 上的某个固定反自同构），有时可以将反同构转化为同构。

汉英词典视角 (Chinese-English Dictionary Perspective)

反同构 (fǎn tónggòu)： Anti-isomorphism.
定义：两个代数结构之间的一种双射映射，它保持加法运算（如果存在）但反转乘法运算的顺序。
核心特征：结构保持性、双射性、乘法顺序反转。
相关术语：
- 同构 (Isomorphism / tónggòu)：保持所有运算顺序的双射映射。
- 反自同构 (Anti-automorphism / fǎn zì tónggòu)：一个代数结构到自身的反同构。
- 对合 (Involution / duìhé)：满足 $phi(phi(x)) = x$ 的反自同构（例如复共轭、矩阵转置）。

权威参考来源 (Authoritative References)

《数学百科全书》 (Encyclopedia of Mathematics) - Springer: 提供了关于“Anti-isomorphism”的准确定义和基本性质描述。该条目由专业数学家撰写并经过同行评审，是数学领域的核心参考资源之一。 (来源: Encyclopedia of Mathematics, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Anti-isomorphism)
Richard S. Pierce - 《关联代数》 (Associative Algebras): 这本经典的代数研究生教材在讨论环和代数的结构时，清晰定义了反同构和反自同构，并给出了矩阵转置作为关键例子。 (来源: Pierce, Richard S. Associative Algebras. Springer-Verlag, 1982. Chapter 1, §1)
《斯坦福哲学百科全书》 (Stanford Encyclopedia of Philosophy) - 结构主义条目：虽然主要关注哲学，但在讨论数学结构的等价性时，会提及同构作为标准，并隐含地指出反同构提供了另一种（通过顺序反转）建立结构等价的方式，体现了数学概念的严谨性。 (来源: Stanford Encyclopedia of Philosophy, Structuralism in Mathematics, https://plato.stanford.edu/entries/structuralism-mathematics/)

总结

反同构是连接两个代数结构的强力纽带，它在保持加法结构和元素间一一对应关系的同时，精确地反转了乘法运算的顺序。理解反同构及其特例反自同构（如矩阵转置），对于深入把握非交换代数结构（如矩阵代数、某些群和环）的对称性和内在性质至关重要。

网络扩展解释

反同构（anti-isomorphism）是数学中群论领域的重要概念，主要用于描述两个代数结构之间的一种特殊关系。以下从定义、性质和应用三方面进行解释：

一、定义

反同构是指两个群（或其他代数结构）之间存在的一一映射$f: G rightarrow G'$，满足对任意$a,b in G$，都有： $$ f(a cdot b) = f(b) circ f(a) $$ 这里$cdot$是原群$G$的运算，$circ$是目标群$G'$的运算。与普通同构不同，反同构的映射会反转运算顺序。例如在普通同构中$f(ab)=f(a)f(b)$，而反同构表现为$f(ab)=f(b)f(a)$。

二、核心性质

运算保序性反转：若原群满足结合律，则反同构映射后目标群仍保持结合律，但元素运算顺序被颠倒。
双射特性：作为一一映射，反同构既单射（injective）又满射（surjective）。
自反同构：当$G'=G$时，称为反自同构，典型例子是矩阵转置运算$A rightarrow A^T$，满足$(AB)^T = B^T A^T$。

三、应用领域

抽象代数：研究群、环、模等结构的对称性。
量子力学：在算子代数中描述时间反演对称性。
密码学：构造非交换群上的加密协议时可能涉及反同构性质。

对比说明

特性	同构	反同构
运算顺序	保持顺序$f(ab)=f(a)f(b)$	反转顺序$f(ab)=f(b)f(a)$
映射类型	双射	双射
常见实例	复数共轭运算	矩阵转置运算

注：需注意与视觉艺术中的“同构现象”区分，后者指图形元素的共用关系，属于完全不同的学科概念。