疊代公式英文解釋翻譯、疊代公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 recurrence formula

分詞翻譯：

疊代的英語翻譯：

【計】 iterate; iteration

公式的英語翻譯：

formula
【計】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【醫】 F.; formula

專業解析

疊代公式（Iterative Formula）是數學和計算科學中用于通過重複運算逼近目标解的表達式，其核心特征是将前一步結果代入下一步計算。根據《牛津數學詞典》定義，疊代指“通過重複應用特定規則或算法生成序列的過程”。在漢英對照語境中，“疊代”對應英文“iteration”，強調循環修正的機制；“公式”則對應“formula”，體現數學關系的規範性表達。

應用領域方面，疊代公式在數值分析、優化算法和機器學習參數更新中具有基礎性作用。例如牛頓-拉夫森疊代法（Newton-Raphson method）的表達式： $$ x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$ 被《數值分析經典方法》列為非線性方程求解的标準工具。劍橋大學數學系公開課程指出，這類公式通過誤差遞減率（Error Reduction Ratio）保證收斂性，典型應用中每次疊代可使誤差平方至少減半。

工程實踐中，IEEE計算智能協會将疊代公式分為顯式和隱式兩類：顯式如雅可比疊代直接計算新值，隱式如高斯-賽德爾疊代則依賴部分更新值。這種分類被納入《計算數學标準術語庫》ISO/IEC 2382:2015。

網絡擴展解釋

疊代公式是數學和計算機科學中用于通過重複計算逐步逼近問題解的一類表達式。其核心思想是将前一步的結果代入公式，生成下一步的近似解，直到滿足特定精度或條件。以下是詳細解釋：

1. 定義與基本形式疊代公式通常表示為： $$x_{n+1} = f(x_n)$$ 其中 (xn) 是第 (n) 次疊代的結果，(f) 是定義疊代規則的函數。例如求平方根的牛頓疊代法公式： $$x{n+1} = frac{1}{2}left(x_n + frac{a}{x_n}right)$$ （(a) 為待求平方根的數）

2. 應用領域

數值計算：解非線性方程（如牛頓法）、線性方程組（如雅可比疊代）
優化算法：梯度下降法尋找函數極值
計算機科學：遞歸算法、機器學習參數更新
分形幾何：曼德博集合的生成

3. 關鍵特性

收斂性：優秀疊代公式需保證序列 ({x_n}) 最終逼近真實解
收斂速度：衡量達到精度的疊代次數（如一階收斂、二階收斂）
穩定性：對初始值誤差不敏感的特性

4. 與遞推公式的區别疊代強調通過循環逼近解，常用于無解析解的問題；遞推則更側重序列項間的數學關系（如斐波那契數列 (Fn=F{n-1}+F_{n-2})）。

實例說明用疊代法求 (sqrt{2})：取初始值 (x_0=1)，代入公式： $$x_1=frac{1}{2}(1+2/1)=1.5$$ $$x_2=frac{1}{2}(1.5+2/1.5)approx1.4167$$ 三次疊代後精度已達0.0001，體現高效性。

這種方法的優勢在于：避免直接求解困難問題，通過計算機易實現的重複操作達到所需精度，廣泛應用于工程計算和科學研究。