二次變分英文解釋翻譯、二次變分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadratic variation

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

變的英語翻譯：

become; change
【醫】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英語翻譯：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【計】 M
【醫】 deci-; Div.; divi-divi

專業解析

在變分法理論體系中，二次變分（second variation）是判定泛函極值二階充分條件的重要數學工具。作為一階變分（first variation）的延伸，其本質是考察泛函在臨界點處的二次近似展開形式，類比于多元函數極值判定中的Hessian矩陣分析。

從數學表達式來看，給定泛函： $$ J[y] = int{a}^{b} F(x,y,y')dx $$ 其二次變分可表示為： $$ delta J = frac{1}{2} int{a}^{b} left[ F{yy}h + 2F{yy'}hh' + F_{y'y'}(h') right] dx $$ 其中$h(x)$為滿足邊界條件的容許變分函數，下标表示對相應變量的二階偏導數。該表達式源自《變分法基礎》（呂德，2018）對泛函泰勒展開的二階項推導。

在工程力學領域，二次變分正定性是判斷平衡狀态穩定性的關鍵判據。根據《彈性穩定性理論》（鐵摩辛柯，2016）中的經典論述，當二次變分$delta J > 0$時，系統處于穩定平衡狀态；當$delta J < 0$時則處于不穩定狀态。這一原理被廣泛應用于橋梁結構設計和航天器姿态控制等領域。

值得注意的是，美國數學學會的《數學評論》數據庫（MathSciNet）中收錄的相關研究顯示，現代微分幾何将二次變分理論拓展到黎曼流形研究，為愛因斯坦場方程的穩定性分析提供了新工具。這種跨學科應用凸顯了該概念的普適性價值。

網絡擴展解釋

二次變分（Second Variational Formula）是微分幾何中用于研究能量泛函在臨界點附近性質的重要工具，尤其在調和映射理論中有核心應用。以下是其核心要點解析：

1. 基本定義

數學背景：設 ( M ) 和 ( N ) 為黎曼流形，( f: M to N ) 為光滑映射。能量泛函 ( E(f) ) 定義為映射微分模長平方的積分，即： $$ E(f) = int_M |mathrm{d}f| , mathrm{d}V_M $$ 其中 ( mathrm{d}f ) 是 ( f ) 的微分，( dV_M ) 是 ( M ) 的體積元。
臨界點：若 ( f ) 是能量泛函的臨界點（即調和映射），則其滿足一階變分 ( delta E(f) = 0 )。此時需通過二次變分判斷臨界點的穩定性（極小值、鞍點等）。

2. 二次變分的構造

擾動映射族：考慮單參數光滑映射族 ( f_t: M to N )（( -epsilon < t < epsilon )），滿足 ( f_0 = f )，且變分方向 ( V = frac{partial ft}{partial t}big|{t=0} ) 為誘導向量叢 ( f^{-1}TN ) 的緊支集截面。
公式形式：二次變分公式為能量泛函在臨界點處的二階導數： $$ delta E(f)(V) = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} Big|_{t=0} E(f_t) $$ 具體計算涉及協變導數、曲率項等，通常表示為： $$ delta E(f)(V) = int_M left( | abla V| - langle R^N(V, mathrm{d}f) mathrm{d}f, V rangle right) mathrm{d}V_M $$ 其中 ( R^N ) 是 ( N ) 的曲率張量。

3. 物理與幾何意義

穩定性判據：若二次變分 ( delta E(f) ) 對所有非零擾動 ( V ) 均為正，則 ( f ) 是穩定的調和映射；若存在負方向，則不穩定。
曲率影響：公式中的曲率項 ( langle R^N(cdots) rangle ) 反映了目标流形 ( N ) 的幾何性質對穩定性的影響。例如，當 ( N ) 具有正曲率時，可能抑制不穩定模态。

4. 應用場景

調和映射理論：研究黎曼流形間映射的極小能量狀态，如調和函數、極小子曲面等。
量子場論：在σ模型中，能量泛函的二次變分對應漲落場的動能與勢能平衡。

二次變分通過分析能量泛函在臨界點附近的二階變化，揭示了調和映射的穩定性與流形幾何間的深層聯繫。若需進一步了解具體計算或實例，可參考微分幾何教材或調和映射專題論文。