二次变分英文解释翻译、二次变分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 quadratic variation

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

变的英语翻译：

become; change
【医】 meta-; pecilo-; poecil-; poikilo-

分的英语翻译：

cent; dispart; distribute; divide; marking; minute
【计】 M
【医】 deci-; Div.; divi-divi

专业解析

在变分法理论体系中，二次变分（second variation）是判定泛函极值二阶充分条件的重要数学工具。作为一阶变分（first variation）的延伸，其本质是考察泛函在临界点处的二次近似展开形式，类比于多元函数极值判定中的Hessian矩阵分析。

从数学表达式来看，给定泛函： $$ J[y] = int{a}^{b} F(x,y,y')dx $$ 其二次变分可表示为： $$ delta J = frac{1}{2} int{a}^{b} left[ F{yy}h + 2F{yy'}hh' + F_{y'y'}(h') right] dx $$ 其中$h(x)$为满足边界条件的容许变分函数，下标表示对相应变量的二阶偏导数。该表达式源自《变分法基础》（吕德，2018）对泛函泰勒展开的二阶项推导。

在工程力学领域，二次变分正定性是判断平衡状态稳定性的关键判据。根据《弹性稳定性理论》（铁摩辛柯，2016）中的经典论述，当二次变分$delta J > 0$时，系统处于稳定平衡状态；当$delta J < 0$时则处于不稳定状态。这一原理被广泛应用于桥梁结构设计和航天器姿态控制等领域。

值得注意的是，美国数学学会的《数学评论》数据库（MathSciNet）中收录的相关研究显示，现代微分几何将二次变分理论拓展到黎曼流形研究，为爱因斯坦场方程的稳定性分析提供了新工具。这种跨学科应用凸显了该概念的普适性价值。

网络扩展解释

二次变分（Second Variational Formula）是微分几何中用于研究能量泛函在临界点附近性质的重要工具，尤其在调和映射理论中有核心应用。以下是其核心要点解析：

1. 基本定义

数学背景：设 ( M ) 和 ( N ) 为黎曼流形，( f: M to N ) 为光滑映射。能量泛函 ( E(f) ) 定义为映射微分模长平方的积分，即： $$ E(f) = int_M |mathrm{d}f| , mathrm{d}V_M $$ 其中 ( mathrm{d}f ) 是 ( f ) 的微分，( dV_M ) 是 ( M ) 的体积元。
临界点：若 ( f ) 是能量泛函的临界点（即调和映射），则其满足一阶变分 ( delta E(f) = 0 )。此时需通过二次变分判断临界点的稳定性（极小值、鞍点等）。

2. 二次变分的构造

扰动映射族：考虑单参数光滑映射族 ( f_t: M to N )（( -epsilon < t < epsilon )），满足 ( f_0 = f )，且变分方向 ( V = frac{partial ft}{partial t}big|{t=0} ) 为诱导向量丛 ( f^{-1}TN ) 的紧支集截面。
公式形式：二次变分公式为能量泛函在临界点处的二阶导数： $$ delta E(f)(V) = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} Big|_{t=0} E(f_t) $$ 具体计算涉及协变导数、曲率项等，通常表示为： $$ delta E(f)(V) = int_M left( | abla V| - langle R^N(V, mathrm{d}f) mathrm{d}f, V rangle right) mathrm{d}V_M $$ 其中 ( R^N ) 是 ( N ) 的曲率张量。

3. 物理与几何意义

稳定性判据：若二次变分 ( delta E(f) ) 对所有非零扰动 ( V ) 均为正，则 ( f ) 是稳定的调和映射；若存在负方向，则不稳定。
曲率影响：公式中的曲率项 ( langle R^N(cdots) rangle ) 反映了目标流形 ( N ) 的几何性质对稳定性的影响。例如，当 ( N ) 具有正曲率时，可能抑制不稳定模态。

4. 应用场景

调和映射理论：研究黎曼流形间映射的极小能量状态，如调和函数、极小子曲面等。
量子场论：在σ模型中，能量泛函的二次变分对应涨落场的动能与势能平衡。

二次变分通过分析能量泛函在临界点附近的二阶变化，揭示了调和映射的稳定性与流形几何间的深层联系。若需进一步了解具体计算或实例，可参考微分几何教材或调和映射专题论文。