杜利特爾方程英文解釋翻譯、杜利特爾方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 Doolittle equation

分詞翻譯：

杜的英語翻譯：

prevent; shut out; stop

利的英語翻譯：

benefit; favourable; profit; sharp

特的英語翻譯：

especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex

爾的英語翻譯：

like so; you

方程的英語翻譯：

equation

專業解析

杜利特爾方程（Doolittle's Method）是求解線性方程組的一種數值算法，屬于LU分解（LU Decomposition）的一種特例。該方法将系數矩陣分解為一個單位下三角矩陣（L）和一個上三角矩陣（U）的乘積，即 ( A = LU )，其中L的對角線元素均為1。該名稱源于其提出者Myrick H. Doolittle。

核心概念

矩陣分解：杜利特爾方程的核心是将系數矩陣 ( A ) 分解為： [ A = LU ] 其中：
- ( L ) 是單位下三角矩陣（對角線元素為1），
- ( U ) 是上三角矩陣。例如： [ A = begin{bmatrix} a{11} & a{12} & a{13} a{21} & a{22} & a{23} a{31} & a{32} & a{33} end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l{21} & 1 & 0 l{31} & l{32} & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} u{11} & u{12} & u{13} 0 & u{22} & u{23} 0 & 0 & u{33} end{bmatrix} ]
求解步驟：
- 分解階段：通過高斯消去法（無行交換）計算 ( L ) 和 ( U ) 的元素。
- 前向替換：解 ( Ly = b ) 得到中間向量 ( y )。
- 後向替換：解 ( Ux = y ) 得到最終解 ( x )。

應用場景

杜利特爾方程適用于需要重複求解同一系數矩陣、不同右側向量的線性方程組（如電路分析、結構力學），因為分解後的 ( L ) 和 ( U ) 可重複使用，大幅減少計算量。

術語中英對照

中文術語	英文術語
杜利特爾方程	Doolittle's Method
LU分解	LU Decomposition
單位下三角矩陣	Unit Lower Triangular Matrix
上三角矩陣	Upper Triangular Matrix
前向替換	Forward Substitution
後向替換	Backward Substitution

權威參考文獻

《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》
Press, W.H., et al. (2007). Cambridge University Press.

鍊接

（第2.3章詳細讨論LU分解及杜利特爾實現）

《Matrix Computations》
Golub, G.H., & Van Loan, C.F. (2013). Johns Hopkins University Press.

鍊接

（經典教材，涵蓋分解算法的穩定性分析）

美國國家标準與技術研究院（NIST）數學庫指南
Doolittle分解實現示例

（提供算法僞代碼與數值穩定性說明）

數學表達

分解公式可通過以下遞推關系實現： $$ u{ij} = a{ij} - sum{k=1}^{i-1} l{ik} u{kj}, quad (i leq j) $$ $$ l{ij} = frac{a{ij} - sum{k=1}^{j-1} l{ik} u{kj}}{u_{jj}}, quad (i > j) $$

網絡擴展解釋

杜利特爾方程（Doolittle method）是線性代數中用于求解線性方程組的一種數值方法，屬于矩陣三角分解法（LU分解）的範疇。其核心思想是将系數矩陣分解為一個單位下三角矩陣（L）和一個上三角矩陣（U）的乘積，從而簡化方程求解過程。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

杜利特爾分解：對于方陣 ( A )，若存在分解 ( A = LU )，其中：
- ( L ) 是單位下三角矩陣（對角線元素為1，上三角元素為0）；
- ( U ) 是上三角矩陣（下三角元素為0），則稱此分解為杜利特爾分解。

2. 分解步驟

以四階矩陣為例，分解形式如下： $$ A = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 l{21} & 1 & 0 & 0 l{31} & l{32} & 1 & 0 l{41} & l{42} & l{43} & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} u{11} & u{12} & u{13} & u{14} 0 & u{22} & u{23} & u{24} 0 & 0 & u{33} & u{34} 0 & 0 & 0 & u{44} end{pmatrix} $$

計算順序：逐行（或逐列）交替計算 ( U ) 和 ( L ) 的元素，利用矩陣乘法規則展開方程組求解。

3. 應用場景

杜利特爾分解主要用于解線性方程組 ( Ax = b )，步驟如下：

分解階段：将 ( A ) 分解為 ( L ) 和 ( U )；
前代法：解 ( Ly = b ) 得到中間向量 ( y )；
回代法：解 ( Ux = y ) 得到最終解 ( x )。

4. 優勢與特點

存儲優化：分解過程中，( L ) 和 ( U ) 的元素可緊湊存儲在原始矩陣 ( A ) 的存儲空間中，節省内存。
計算效率：適用于需要多次求解不同右端項 ( b ) 的情況，分解隻需進行一次。

5. 與其他分解法的區别

克勞特分解（Crout）：與杜利特爾分解相反，( L ) 是普通下三角矩陣，( U ) 是單位上三角矩陣。
選主元策略：部分實現會結合選主元（如部分選主元）以提高數值穩定性。

若需具體算法實現或代碼示例，中提到的C++代碼或壓縮包資源。